投资学知识点

利率

利率公理化

1. 利率的频次$m$：表示一年付息几次，为整数，记为$^mr$
   • 有效年利率$^1r$：又记作EAR，非连续复利时，绝大多数利率默认为此利率
   • 名义年利率$^kr$：又记作APR，$k$为付息频次，$YTM$、票息率、非连续复利即期利率套算的远期利率为此利率
   • 名义期利率$\frac{^kr}{k}$：直接根据两时间点计算出的利率。进行非连续复利计算用的一定是名义期利率（复利法则），有效年利率的名义期利率就是自己，连续复利率的名义期利率为0
   • 连续复利率$^\infty r$：连续复利时，利率默认为此利率。连续复利即期利率套算的远期利率为此利率
2. 不同频次利率的转化公式
   $$\left(1+\frac{^ar}{a}\right)^a=\left(1+\frac{^br}{b}\right)^b=e^{^\infty r}$$
3. 时间价值
   • 复利法则：期初本金为$A$，$T$时刻后本金变为
     $$A\left(1+\frac{^mr}{m}\right)^{mT}$$
   • 例如，期初本金为100，年利率为10%，则2年后本金为
     $$FV=PV\left(1+ ~^1r\right)^2=121$$
     或者，计算频次为2的利率再计算终值
     $$\begin{align} \because\quad&1+ ~^1r=\left(1+ \frac{^2r}{2}\right)^2 \\ \therefore\quad&^2r=9.76\% \\ \therefore\quad&FV=PV\left(1+ \frac{^2r}{2}\right)^4=121 \end{align}$$
     此外有无数种算法，结果均为121
4. 连续复利时的有效年利率$^1r$
   $$\begin{align} &1+~^1r=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+ \frac{^nr}{n}\right)^n=e^{^\infty r} \\ &^1r=e^{^\infty r}-1 \end{align}$$
   • 例如，期初本金为100，年利率为10%，连续复利，则半年后本金为
     直接利用连续复利计算
     $$FV=PVe^{^\infty rT}=105.13$$
     或者化为有效年利率
     $$\begin{align} &^1r=e^{^\infty r}-1=10.52\% \\ &FV=PV(1+~^1 r)^{0.5}=105.13 \end{align}$$
     同样的，利用利率频次的转化公式可以得到无数计算方法

通货膨胀

1. 考虑通货膨胀时利率分为
   • 名义利率$_\pi r$：未消除通货膨胀的影响的利率
   • 实际利率$r$：考虑通货膨胀修正后的利率
2. 注意，这里的名义和名义年利率的名义完全没有关系
   • 名义名义年利率：$_\pi^1 r$
   • 实际名义年利率：$^1 r$
   • 名义连续复利率：$_\pi^\infty r$
   • 实际连续复利率：$^\infty r$
3. 名义利率与实际利率转化公式
   $$\begin{align} \because\quad & (1+ ~^1r)(1+\pi)=(1+ ~^1_\pi r) \\ \therefore\quad & _\pi^1 r= ^1r+\pi+~^1r\pi \\ & ^1r=\frac{1+~^1_\pi r}{1+\pi} -1 \end{align}$$
   • 注意：通胀率的频次为1，名义利率的频次不为1时，必须转化为有效年利率计算实际利率，再转为原频次
   • 因此，有效年利率是枢纽，既可以调整频次，又可以调整通胀
4. 名义现金流与实际现金流转化公式
   • 现金流：名义值等价于实际值按$\pi$复利
     $$_\pi CF_t=CF_t(1+\pi)^t$$
   • 终值：名义值等价于实际值按$\pi$复利
     $$\begin{align} _\pi FV&=\sum_{t=1}^{T}{~_\pi CF_t(1+~_\pi r)^{T-t}} \\ &=\sum_{t=1}^{T}{CF_t(1+\pi)^t(1+r)^{T-t}(1+\pi)^{T-t}} \\ &=(1+\pi)^{T}\sum_{t=1}^{T}{CF_t(1+r)^{T-t}} \\ &=FV(1+\pi)^{T} \end{align}$$
   • 现值：名义值等于实际值
     $$\begin{align} _\pi PV&=\sum_{t=1}^{T}\frac{~_\pi CF_t}{(1+~_\pi r)^{t}} \\ &=\sum_{t=1}^{T}\frac{ CF_t(1+\pi)^t}{(1+ r)^{t}(1+\pi)^t} \\ &=\sum_{t=1}^{T}\frac{ CF_t}{(1+ r)^{t}} \\ &=PV \end{align}$$
   • 终值与现值：用对应利率复利
     $$\begin{align} &_\pi FV= ~_\pi PV(1+~_\pi r)^T \\ &FV= PV(1+ r)^T \end{align}$$

年金因子

1. 现值因子
   
   • 计算公式
     $$\mathrm{PVIFA}_{r,n,g}=\frac{1}{r-g}\left[1- \left(\frac{1+g}{1+r}\right)^{n}\right]$$
   • 将$n$期名义期利率为$r$，以$g$为增长率的、第一期为1的现金流折现到前一期
2. 终值系数
   
   • 计算公式
     $$\mathrm{FVIFA}_{r,n,g}=\frac{1}{r-g}\left[(1+r)^{n}-(1+g)^n\right]$$
   • 将$n$期名义期利率为$r$、以$g$为增长率的、第一期为1的现金流折现到最后一期
3. 若付息频次为$k$，则
   $$\begin{align} &\mathrm{PVIFA}_{r,n,g}=\frac{1}{~^kr-~^kg}\left[1- \left(\frac{1+~^1g}{1+~^1r}\right)^{n}\right] \\ &\mathrm{FVIFA}_{r,n,g}=\frac{1}{~^kr-~^kg}\left[(1+~^1r)^{n}-(1+~^1g)^n\right] \end{align}$$

收益率

1. 持有期收益率: (资本利得 + 全部利息) / 期初投资
2. 资本利得率: 资本利得 / 期初投资
3. 当期收益率：一年利息 / 期初投资
4. 赎回收益率: 使得期初到赎回期间的利息、赎回价格折现后等于期初债券价值的折现率
5. 到期收益率（复利）: 使得购入到到期期间的现金流折现后等于购入价格的折现率
6. 到期收益率（单利）: 忽略时间价值计算的收益率 / 总年数

金融产品

债券

久期

1. 麦考利久期$D$：收回成本的平均时间
   $$D = \frac{\sum \frac{t\cdot CF_t}{(1+y)^t}}{\sum \frac{ CF_t}{(1+y)^t}}=\frac{1}{P}{\sum \frac{t\cdot CF_t}{(1+y)^t}}=\sum t\cdot\frac{PV_t}{P}$$
   • $y$为名义期利率
   • 永续债券的麦考利久期：$\frac{1+y}{y}$
2. 修正久期$D^\ast$：债券价格变动率与YTM变动率之比
   $$D^\ast=-\frac{\frac{\mathrm d P}{P}}{\mathrm d y}=\frac{D}{1+y}= \frac{1}{1+y}\sum t\cdot\frac{PV_t}{P}$$
   • $y$为名义期利率
   • 永续债券的修正久期：$\frac{1}{y}$
3. 有效久期
   $$\text{有效久期}=-\frac{\Delta P/P}{\Delta r}$$
   • 计算隐含期权金融工具的久期
4. 久期法则
   $$\frac{\Delta P}{P}=-D^\ast\cdot\Delta y$$

凸度

1. 公式
   $$C=\frac{1}{P}{\sum \frac{t\cdot(t+1)\cdot CF_t}{(1+y)^{t+2}}}=\frac{1}{(1+y)^2}\sum t\cdot(t+1)\cdot\frac{PV_t}{P}$$
2. 久期凸度法则
   $$\frac{\Delta P}{P}=-D^\ast\cdot\Delta y+\frac{1}{2}\cdot C\cdot(\Delta y)^2$$

股票

1. 基本公式：DDM
   $$P_0=\sum_{i=1}^n \frac{D_i}{(1+r)^i}+\frac{P_n}{(1+r)^n}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{D_i}{(1+r)^i}$$
   • 零增长：$P_0=\frac{D}{r}$
   • 固定增长率$g$：$P_0=\frac{D_0(1+g)}{r-g}=\frac{D_1}{r-g}$
2. 增长率$g$
   • 假设以前的项目的现金流不变，留存收益投资项目的收益率为$ROE$，则
     $$NI_1=NI_0+RE\times ROE\quad\Rightarrow\quad g=b\times ROE$$
   • 此时股价
     $$P_0=\frac{D_0(1+g)}{r-g}=\frac{EPS_0(1-b)(1+b\times ROE)}{r-b\times ROE}$$
   • 其他条件不变时，由于$NI$以$g$增长，$D$与$P$也以$g$增长
3. 收益率$r$
   $$P_0=\frac{D_0(1+g)}{(r-g)(1-f)}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{D_0(1+g)}{P_0(1-f)}+g$$
   • 同时还是股票的一年期HPY
4. 增长机会价值$PVGO$
   $$\begin{align} \because\quad&P_0=\frac{EPS_1}{r}+PVGO \\ \therefore\quad&PVGO=\frac{EPS_1(1-b)}{r-g}-\frac{EPS_1}{r}=\frac{EPS_1}{r}\frac{b}{r-g}(ROE-r) \end{align}$$
   • 注意用的是下一期的股利
   • 当留存收益的投资回报率大于市场利率，投资才能增加股价
5. 常见表述
   • 今年每股收益为 → $EPS_0$
   • 预期每股收益为 → $EPS_1$
   • 刚刚派发股利 → $P_0$不需要加上$EPS_0$

远期

1. 构建两个组合，组合1持有资产，组合2持有一份远期合约和现金
   • 使得二者现金流相同，求出价值
   • 令远期机制为零，求出交割价格
     

     类别	估值$f_t$	定价$F_t$
     无收益	$f_t=S_t-Ke^{-r(T-t)}$	$F_t=S_te^{r(T-t)}$
     连续收益率$q$	$f_t=S_te^{-q(T-t)}-Ke^{-r(T-t)}$	$F_t=S_te^{(r-q)(T-t)}$
     现金收益$I_t$	$f_t=S_t-I_t-Ke^{-r(T-t)}$	$F_t=(S_t-I_t)e^{r(T-t)}$

   • $I_t$为$t$时刻之后现金收益的折现值之和
2. 估值与定价的意义
   • 估值：表示以$K$为协议价格的远期合约在$t$时刻的价值
   • 定价：表示在$t$时刻使双方不盈利不亏损的协议价格$K$
3. 估值、定价、协议价格的关系
   $$f_t=(F_t-K)e^{-r(T-t)}$$
   • 若$t$时刻理论价格大于协议价格则多头盈利，表现为估值为正，盈利的现值就是$f_t$
4. 远期价格的期限结构
   • 不同$T$下的$F_t$与$T$的关系
     $$\begin{align} \because\quad&\begin{cases} &F_t(T_1)=Se^{z_1(T_1-t)}\\ &F_t(T_2)=Se^{z_2(T_2-t)} \end{cases} \\ \therefore\quad& F_t(T_2)=F_t(T_1)e^{z_2(T_2-t)-z_1(T_1-t)}=F_t(T_1)e^{f_{1,2}(T_2-T_1)} \end{align}$$
   • 恰好为按远期利率复利

FRA

1. 远期利率协议的定价与估值
   • 对于市场远期利率$\mathcal{F}$和协议远期利率$\mathcal{K}$的FRA，其价值就是$t_2$时刻净现金流在$t_0$的现值，即
     $$V=Ae^{-r(t_2-t_0)}\left[e^{\mathcal{F}_{t_1,t_2}(t_2-t_1)}-e^{\mathcal{K}(t_2-t_1)}\right]$$
   • 若不为连续复息，则为
     $$V=\frac{A(\mathcal{F}_{t_1,t_2}-\mathcal{K})(t_2-t_1)}{1+r(t_2-t_0)}$$
     注意$t_2-t_0$为一年的百分比形式
   • 若使得价值为0，求出的$\mathcal{K}$就是$t_0$时刻FRA的价格
2. 远期利率协议的结算金
   • 在$t_1$时刻，此时$r$与$\mathcal{F}_{t_1,t_2}$已确定，可以结算FRA的净值
     $$\begin{align} S & =Ae^{-r(t_2-t_1)}\left[e^{r(t_2-t_1)}-e^{\mathcal{K}(t_2-t_1)}\right]\\ & =A\left[1-e^{(\mathcal{K}-r)(t_2-t_1)}\right] \end{align}$$
   • 若不为连续复息，则为
     $$S=\frac{A(r-\mathcal{K})(t_2-t_1)}{1+r(t_2-t_1)}$$
     注意$t_2-t_1$为一年的百分比形式
3. 购买远期利率协议后，实际借款成本锁定为$\mathcal{K}$
   • 预期未来利率上升，买入FRA，利率上升时获益
   • 预期未来利率下降，卖出FRA，利率下降时获益

期货

国债期货

1. 净价和全价
   • 净价(报价) = 全价(现金价格) - 应计利息
   • 应计利息 = 区间利息 × 区间已经经过的百分比
   • 净价为未来现金流折现和，全价才是实际支付的现金
2. 转换因子
   • 把其它债券现货转换为标准债券期货，使得不同债券具有可比性。普通债券 = 转换因子 × 标准债券
   • 转换因子的计算： 面值一元的该债券的未来现金流按6%收益率（半年付息）贴现再扣除应计利息后的余额
   • 剩余期限以3个月为单位向下取整，若剩余期限不为半年的倍数则会有应计利息
3. 发票金额
   • 交割券现货发票金额 = 标准券期货报价 × 交割券转换因子 + 应计利息（面值要相同）
   • "标准券期货报价 × 交割券转换因子"为报价，"应计利息"用于补偿卖方持有期间的利息
4. 最便宜可交割债券
   • 卖方收入: 标准券期货报价 × 交割券转换因子 + 应计利息
   • 卖方成本: 交割券现货报价 + 应计利息
   • 卖方交割成本: 交割券现货报价 - 标准券期货报价 × 交割券转换因子
   • 选择交割成本最低的进行交割
5. 长期国债期货合约定价：假设最便宜可交割债券和交割日期已知
   
   • 根据交割券现货净价计算出交割券现货全价
     $S_D = S_C + AI_1$
   • 根据交割券现货全价计算出交割券期货全价
     $F_D=(S_D-I)e^{r(T-t)}$
   • 根据交割券期货全价计算出交割券期货净价
     $F_C=F_D-AI_2$
   • 交割券期货净价除以转换因子就是标准券期货报价
     $P_C=\frac{F_C}{CF}$
   • $I$为国债期货到期日前交割券利息现值，$AI_1$为当前到上次付息，$AI_2$为国债期货到期日到上次付息

外汇期货

1. 报价形式
   • 单向：1EUR=1.2USD
   • 双向: 1EUR=1.2/1.21USD，1.2为卖出价、1.21为买入价
2. 外汇期货：到期以约定汇率收到外币
   • 到期时间：期货最终交割时间
   • 交易单位: 购买一单位外汇期货需要的本币价格，欧元期货为12.5万，日元期货为1250万，美元期货为7.35万
   • 价格（间接标价法）: 表示人们对汇率的预期，形式为本币/外币=xxx，或简写为外币xxx，或简写为xxx（默认外币为美元）
   • 例如：2024年12月欧元期货价格1.087，表示花费12.5万欧元购买1单位期货后，在2024年12月能收到
     $$125000\times 1.087=135875(\text{USD})$$
3. 外汇期货的平仓：提前收回本币
   • 外汇期货购买后不一定必须等到交割，也可以提前平仓，收回本币
   • 每单位期货的收益 = 交易单位 × 价格的变动
   • 例如：当前12月期欧元期货价格为USD1.1062，一个月后该欧元期货价格为USD1.1736，则每份期货收益为
     $$125000\times(1.1736-1.1062)=8425 (\text{GBP})$$
4. 外汇期货的定价与估值（直接标价法）
   $$\begin{align} &F_t=Se^{(r-r^\ast)(T-t)} \\ &f_t=(F_t-K)e^{-r(T-t)} \end{align}$$
   • 相当于连续收益率为外币利率的有收益期货
5. 策略
   • 认为货币将升值则买入该货币期货
   • 认为货币将贬值则卖出该货币期货

互换

1. 利率互换

   • 对于固定利息支付方（多头），$V_{swap}=B_{float}-B_{fix}$；对于浮动利息支付方（空头），$V_{swap}=B_{fix}-B_{float}$
   • 将固定利息的现金流折现得到$B_{fix}$；将浮动利息的现金流折现得到$B_{float}$
     $$\begin{aligned} & B_{{fix }}=\sum_{i=1}^n k_i e^{-z_i t_i}+A e^{-z_n t_n} \\ & B_{ {flow }}=\left(A+k^\ast\right) e^{-z_1t_1} \end{aligned}$$
     若付息利率为连续复利，需要转化为对应频次的APR利率再计算固定债券和浮动债券的利息
     $k_i$为未来第$i$期的固定现金流，$k^\ast$为下一期浮动现金流，$z_i$为当下到未来第$i$期时刻$t_i$的即期LIBOR（连续复利）
     固定债券的价值等于未来现金流的现值和，浮动债券的价值在付息下时刻等于面值
     上一时刻的名义期LIBOR决定当前的浮动利息，用即期LIBOR套算远期LIBOR，再调整频次得到
   • 或者将每个时刻的利息流入流出当成FRA，计算一系列FRA的现值求出互换价值
     $$V=A\sum_{i=1}^n e^{-\mathcal{z}_it_i}\left[e^{\mathcal{K}(t_i-t_{i-1})}-e^{\mathcal{f}_{t_{i-1},t_i}(t_i-t_{i-1})}\right]$$
     $\mathcal{K}$固定端利率（连续复利）
     $\mathcal{f}_{t_{i-1},t_i}$为$t_{i-1}$到$t_i$的远期利率，公式为（即期利率需要为连续复利）
     $$\mathcal{f}_{t_{i-1},t_i}=\begin{cases} & \mathcal{z}_1 &i=1\\ & \frac{\mathcal{z}_{t_i}t_i-\mathcal{z}_{t_{i-1}}t_{i-1}}{t_{i}-t_{i-1}} &i\gt 1 \end{cases}$$
   • 令$V$等于0即可给利率互换定价
     $$A\sum_{i=1}^n e^{-\mathcal{z}_it_i}\left[e^{\mathcal{K}(t_i-t_{i-1})}-e^{\mathcal{f}_{t_{i-1},t_i}(t_i-t_{i-1})}\right]=0\quad\Rightarrow\quad\mathcal{K}$$
     若按年复利，每年年末交换现金
     $$\begin{align} \because\quad&A\sum_{i=1}^n \frac{\mathcal{K}-\mathcal{f}_{{i-1},i}}{(1+z_i)^{i}}=0 \\ \therefore\quad&\mathcal{K}=\frac{\sum_{i=1}^n \frac{1+\mathcal{f}_{{i-1},i}}{(1+z_i)^{i}}}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{(1+z_i)^{i}}}-1=\frac{\sum_{i=1}^n \frac{1}{(1+z_{i-1})^{i-1}}}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{(1+z_i)^{i}}}-1=\frac{\sum_{i=1}^n B_{i-1}}{\sum_{i=1}^n B_i}-1 \end{align}$$
     其中$B_i$为期限为$i$年的零息债的价值
   • 注意事项
     互换利率为整年的利率，若多次付息要平均
     以前的LIBOR确定浮动利息，零时刻LIBOR折现浮动利息

2. 货币互换

   • 对于收本币付外币，$V_{swap}=B_{D}-S_0B_{F}$；对于收外币付本币，$V_{swap}=S_0B_{F}-B_{D}$
   • 将未来现金流用对应货币的利率折现，再用当前汇率换算成同一货币，即为互换价值
     $$\begin{align} &B_{D}=\sum_{i=1}^n k_{D,i} e^{-z_{D,i} t_i}+A_D e^{-z_{D,n} t_n} \\ &B_{F}=\sum_{i=1}^n k_{F,i} e^{-z_{F,i} t_i}+A_F e^{-z_{F,n} t_n} \end{align}$$
     假设初始汇率$A/B=S_0$，则货币$A$为外币，$B$为本币
     若付息利率为连续复利，需要转化为对应频次的APR利率再计算国内债券和国外债券的利息
     $k_i$为未来第$i$期的国内/国外现金流，$z_i$为当下到未来第$i$期时刻$t_i$的即期货币利率（连续复利）
   • 或者将每个时刻的利息流入流出当成FRA，计算一系列FRA的现值求出互换价值
     $$\begin{align} &S_i=S_0 e^{(z_{D,i}-z_{F,i})t_i} \\ &V=\sum_{i=1}^n\left(S_i k_{F,i} - k_{D,i}\right)e^{-z_{D,i} t_i}+\left(S_n A_F - A_D\right) e^{-z_{D,n} t_n} \end{align}$$
     $S_i$为$t_i$时刻的远期汇率
     将所有FRA折算为本币，用本币即期利率折现求和，得到互换价值
   • 互换比率：在$t_0\sim t_n$期间支付$n$次金额为$Q$的外币，则需要收到$n$次金额为$QR_n$的本币，$R_n$就是互换比率
     $$V=\sum_{i=1}^n\left(S_i Q - R_nQ\right)e^{-z_{D,i} t_i}=0\quad\Rightarrow\quad R_n=\frac{\sum_{i=1}^n S_i e^{-z_{D,i} t_i}}{\sum_{i=1}^n e^{-z_{D,i} t_i}}=\frac{\sum_{i=1}^n e^{-z_{F,i} t_i}}{\sum_{i=1}^n e^{-z_{D,i} t_i}}S_0$$
     表明$R_n$是远期汇率根据本币利率加权得到的一种特殊汇率
     一期的互换比率$R_1$实际上就是远期汇率
     如果有抛补，$S_i$就不是远期汇率而是远期外汇的价格

期权

期权的价值

1. 期权费
   • 如果要考虑时间价值，则复利后的期权费才是真正的期权费，协议价格不变
   • 期权费可能为a%形式，此时盈亏平衡点为(1±a%)×协议价格，倒算出期权费
   • 外汇期权期权费表示为汇率可能双重报价，外币换本币用左价，本币换外币用后价。支付的期权费就是用期权费作为汇率换算出的面额
2. 期权价值 = 绝对内在价值 + 时间价值
   
   • 内在价值：所有可行权时间点中行权收益现值最大的那个贴现值，随时间波动
     有的地方将本文中内在价值与0中较大者作为内在价值，本文称其为绝对内在价值
   • 时间价值：由于标的物价格变动导致期权价值增加的可能性，随直接递减到0，也是贴现值
     时间价值在期权实值的时候最高
   • 其它条件相同的看涨期权和看跌期权具有相同时间价值
3. 期权的内在价值
   

   分类			可行行权时点与价值	内在价值
   看涨期权	欧式	无收益	$V_T=S_T-X$	$S_0-Xe^{-rT}$
   		有收益	$V_T=S_T-I_T(T)-X$	$S_0-I_0(T)-Xe^{-rT}$
   	美式	无收益	$V_T=S_T-X$	$S_0-Xe^{-rT}$
   		有收益	$\begin{aligned} & V_T=S_T-I_T(T)-X\\& V_{\tau_i-}=S_{\tau_i}-I_{\tau_i}(\tau_{i-1})-X\quad(i=1,2,\cdots)\end{aligned}$	$\begin{aligned} & S_0-I_0(T)-Xe^{-rT}\\& S_0-I_0(\tau_{i-1})-Xe^{-r\tau_i}\end{aligned}$
   看跌期权	欧式	无收益	$V_T=X-S_T$	$Xe^{-rT}-S_0$
   		有收益	$V_T=X-[S_T-I_T(T)]$	$Xe^{-rT}-[S_0-I_0(T)]$
   	美式	无收益	$V_0=X-S_0$	$X-S_0$
   		有收益	$\begin{aligned} & V_0=X-S_0\\& V_{\tau_i+}=X-[S_{\tau_i}-I_{\tau_i}(\tau_{i})]\quad(i=1,2,\cdots)\end{aligned}$	$\begin{aligned} & X-S_0\\& Xe^{-r\tau_i}-[S_0-I_{0}(\tau_i)]\end{aligned}$

   • $V_t,V_{t+},V_{t-}$表示在时间$T$、后一时刻、前一时刻行权时的收益，折现后为的现值就是可能的内在价值
   • 假设债券在$t=\tau_i$派息，$\tau_0$的派息为0，$I_t(\tau)$为$[0,\tau]$时间区间内所有收益复利/折现到$t$之和
   • 内在价值大于0为实值期权，等于0为平值期权，小于0为虚值期权。到期时只有内在价值大于0才行权
4. 期权的提前行权
   
   • 由于欧式期权无法提前行权，计算在$T$时刻行权收益折现后就是内在价值
   • 美式无收益看涨期权一定不提前行权。因为收益现值始终为$S_0$，提前行权成本现值更大（$Xe^{-rt}\gt Xe^{-rT}$）
   • 美式无收益看跌期权一定会期初行权。因为成本现值始终为$S_0$，提前行权收益现值更大（$X\gt Xe^{-rt}$）
   • 美式有收益看涨期权可能会提前行权（付息日前一刻）。虽然提前行权导致成本现值更大，但也导致收益增大（避免了之后的除息）
     比较不同时刻内在价值，可以得出美式有收益看涨期权在第$a$次派息前行权而不是第$b$次派息前行权的条件是$(b\gt a)$
     $$X\left[1-e^{-r(\tau_b-\tau_a)}\right]\lt D_{a,b-}\quad D_{a,b-}\text{为}[\tau_a,\tau_b)\text{期间派息折现到}a\text{的现值和}$$
     令$\tau_b=T$求出美式有收益看涨期权提前行权的条件为：$\exists a$使得$X\left[1-e^{-r(T-\tau_a)}\right]\lt D_{a,\infty}$
   • 美式有收益看跌期权一定会提前行权（期初或付息日后一刻）。首先不可能选择在期末行权，因为在最后一次派息和期末之间，除息后价格现值不变（因为没有派息），而收益却在减少，因此在最后一次派息后一刻行权一定优于不行权。同理在派息下一刻行权一定优于到下一次派息前这段时间行权。
     比较不同时刻内在价值，可以得出美式有收益看跌期权在第$a$次派息前行权而不是第$b$次派息前行权的条件是$(b\gt a)$
     $$X\left[1-e^{-r(\tau_b-\tau_a)}\right]\gt D_{a+,b}\quad D_{a+,b}\text{为}(\tau_a,\tau_b]\text{期间派息折现到}a\text{的现值和}$$
     令$\tau_a=0$求出美式有收益看跌期权不在期初行权的条件为：$\exists b$使得$X\left(1-e^{-r\tau_b}\right)\lt D_{0,b}$
5. 期权的价值上下限
   

   分类			上限	下限
   看涨期权	欧式	无收益	$S_0$	$\max \left\{S_0-Xe^{-rT},\ 0\right\}$
   		有收益	$S_0-I_0(T)$	$\max \left\{S_0-I_0(T)-Xe^{-rT},\ 0\right\}$
   	美式	无收益	$S_0$	$\max \left\{S_0-Xe^{-rT},\ 0\right\}$
   		有收益		$\max \left\{S_0-I_0(T)-Xe^{-rT},\ S_0-I_0(\tau_{i-1})-Xe^{-r\tau_i},\ 0\right\}$
   看跌期权	欧式	无收益	$Xe^{-rT}$	$\max \left\{Xe^{-rT}-S_0,\ 0\right\}$
   		有收益		$\max \left\{Xe^{-rT}-[S_0-I_0(T)],0\ \right\}$
   	美式	无收益	$X$	$\max \left\{X-S_0,\ 0\right\}$
   		有收益		$\max \left\{X-S_0,\ Xe^{-r\tau_i}-[S_t-I_{0}(\tau_i)],\ 0\right\}$

   • 由于期权的价值包括绝对内在价值和时间价值，时间价值大于0，因此价值下限就是绝对内在价值
   • 对于看涨期权，价值不可能超过资产价格，因此价格上限就是$S$，其中欧式期权不能提前行权需要除息
   • 对于看跌期权，价值不可能超过收益上限，因此价格上限就是$X$，其中欧式期权不能提前行权需要折现
6. 期权价值的影响因素
   
   • 对于美式期权，期权有效期越长，行权的机会越多，因此看涨期权价格增加，看跌期权价格减少
   • 对于欧式期权，时间对成本和收益可能有同方向影响（除息和行权价的折现），因此不确定价格的变化
7. 期权的平价关系
   • 欧式期权：看涨期权价格为$c$，看跌期权价格为$p$
     无资产收益
     $$p+S_0=c+Xe^{-rT}$$
     有资产收益
     $$p+[S_0-I_0(T)]=c+Xe^{-rT}$$
     一般情况
     $$p+f=c$$
     其中$f$为协议价格为$X$的远期的价值
   • 美式期权：看涨期权价格为$C$，看跌期权价格为$P$
     由于美式看涨不提前行权，美式看跌一定提前行权，因此
     $$C=c,P\ge p\quad\Rightarrow\quad C-P\le c-p$$
     并且，无论是否提前行权，欧式看涨期权$c$ + 现金$X$的组合价值总大于美式看跌期权$p$ + 标的资产$S$，因此
     $$C-P=c-P\ge S - X$$
     得到：无资产收益
     $$S_0-X\le C-P\le S_0-Xe^{-rT}$$
     有资产收益
     $$[S_0-I_0(T)]-X\le C-P\le S_0-Xe^{-rT}$$

期权交易策略

1. 担保期权
   • 有担保的看涨期权（备兑看涨期权） = 看涨期权空头 + 标的资产多头
     
   • 有担保的看跌期权（备兑看跌期权） = 看跌期权多头 + 标的资产多头
     
2. 牛市价差
   • 牛市价差组合 = 看涨期权多头 + 更高行权价的看涨期权空头
     
   • 牛市价差组合 = 看跌期权多头 + 更高行权价的看跌期权空头
     
   • 牛市价差组合的作用
     预期价格上升但上升幅度不大，以低于看涨期权的成本投资，当然收益也更低
     卖出看跌期权投机于上升预期，之后通过买人一份行权价格较低的看跌期权进行风险管理
     期权相对价格不合理时套利
   • 两种牛市价差组合的区别
     看涨：期初现金流为负，最终收益更大
     看跌：期初现金流为正，最终收益更小
3. 熊市价差
   • 熊市价差组合 = 看涨期权多头 + 更低行权价的看涨期权空头
     
   • 熊市价差组合 = 看跌期权多头 + 更低行权价的看跌期权空头
     
   • 熊市价差组合的作用
     预期价格下跌但下跌幅度不大，以低于看跌期权的成本投资，当然收益也更低
     卖出看涨期权投机于下跌预期，同时通过买入一份行权价格较高的看涨期权进行风险管理
     期权相对价格不合理时套利
   • 两种熊市价差组合的区别
     看涨：期初现金流为正，最终收益更小
     看跌：期初现金流为负，最终收益更大
4. 蝶式价差
   • （正向）蝶式价差组合 = 看涨期权多头 + 2看涨期权空头 + 看涨期权多头
     
   • （正向）蝶式价差组合 = 看跌期权多头 + 2看跌期权空头 + 看跌期权多头
     
   • 蝶式价差组合的作用
     预测价格会在一定区间内波动
   • 两种蝶式价差组合的区别
     无论初始投资还是最终收益都相同
5. 差期
   • （正向）差期组合 = 看涨期权多头 + 更短期限的看涨期权空头
   • （正向）差期组合 = 看跌期权多头 + 更短期限的看跌期权空头
     
6. 跨式
   • （底部）跨式组合 = 看涨期权多头 + 看跌期权多头
     
   • 预测股价会有重大波动但不知道具体方向，如企业收购

期权的定价

1. 复制定价法
   • 将一份期权与$h^\ast$份头寸相反的股票组合，使得无论股价上升到到$u$倍者下降至$d$倍，最终现金流收益相同
     $$f_u-h^\ast Su=f_d-h^\ast Sd\quad\Rightarrow\quad h^\ast=\frac{f_u-f_d}{Su-Sd}$$
     $|h^\ast|$为最优对冲比率
   • 于是一份期权加上$h^\ast$份股票的组合未来现金流确定，等于期初投入的终值
     $$(f-h^\ast S)e^{rT}=f_u-h^\ast Su=f_d-h^\ast Sd$$
   • 解出期权价格$f$
     $$f=f_u e^{-rT} +h^\ast S\left(1-ue^{-rT}\right)=f_d e^{-rT} +h^\ast S\left(1-de^{-rT}\right)$$
   • 一般来说$f_u,f_d$有一个为零
2. 风险中性定价
   • 假股价上涨到$u$倍的概率为$\hat{\mathbb{P}}$，下降到$d$倍的概率为$1-\hat{\mathbb{P}}$，于是
     $$\begin{align} &Se^{r T}=S u \hat{\mathbb{P}}+S d(1-\hat{\mathbb{P}}) \\ &\hat{\mathbb{P}}=\frac{e^{r T}-d}{u-d} \end{align}$$
   • 期权价格为
     $$f=e^{-r T}\left[\hat{\mathbb{P}} f_u+(1-\hat{\mathbb{P}}) f_d\right]$$
   • 若$u,d$未知，但波动率$\sigma$已知，则可以求出$u,d$
     $$u =e^{\sigma \sqrt{T}} \quad d =e^{-\sigma \sqrt{T}}$$
3. BS公式
   • 无收益
     $$\begin{align} &c=S \mathrm{N}\left(d_1\right)-K {e}^{-rT } \mathrm{N}\left(d_2\right) \\ &p=K {e}^{-rT } \mathrm{N}\left(-d_2\right)-S \mathrm{N}\left(-d_1\right)=c+Ke^{-rT}-S \end{align}$$
     其中
     $$\begin{align} & d_1=\frac{\ln (S / K)+\left(r+\sigma^2/2\right) T}{\sigma \sqrt{T}} \\ & d_2=\frac{\ln (S / K)+\left(r-\sigma^2/2\right) T}{\sigma \sqrt{T}}=d_1-\sigma \sqrt{T} \end{align}$$
   • 有收益
     $$\begin{align} &c=e^{-rT}\mathrm P(\mathbf S\gt K)\left[\mathrm E(\mathbf S\mid \mathbf S\gt K)-K\right] \\ &p=e^{-rT}\mathrm P(\mathbf S\lt K)\left[K-\mathrm E(\mathbf S\mid \mathbf S\lt K)\right] \end{align}$$
     由于
     $$\begin{align} &\mathrm P(\mathbf S\gt K)=\mathrm N(d_2) \\ &\mathrm P(\mathbf S\lt K)=\mathrm N(-d_2) \\ &\mathrm E(\mathbf S\mid S\gt K)=\mathrm E(\mathbf S)\frac{N(d_1)}{N(d_2)}=F\frac{N(d_1)}{N(d_2)} \\ &\mathrm E(\mathbf S\mid S\lt K)=\mathrm E(\mathbf S)\frac{N(-d_1)}{N(-d_2)}=F\frac{N(-d_1)}{N(-d_2)} \\ & d_1=\frac{\ln (F / K)}{\sigma \sqrt{T}}+\frac{\sigma\sqrt T}{2} \\ & d_2=\frac{\ln (F / K)}{\sigma \sqrt{T}}-\frac{\sigma\sqrt T}{2}=d_1-\sigma \sqrt{T} \end{align}$$
     因此
     $$\begin{align} &c=e^{-rT}\left[F\mathrm N(d_1)-K\mathrm N(d_2)\right] \\ &p=e^{-rT}\left[K\mathrm N(-d_2)-F\mathrm N(-d_1)\right] \end{align}$$
     其中，$\mathbf S$为$T$时刻期货标的资产价格的概率分布，$F$为以期货标的资产为标的物、合约期限为$T$的远期的定价
4. 注意事项
   • 对于多期二叉树，从后往前依次计算得到每个节点的值，或对每条路径按概率加权求和最后折现
   • 如果是美式期权，比较二叉树结果和直接行权收益，选择大的作为节点值
   • 如果发放股利，先绘制无股利时二叉树，再绘制期初除权后二叉树，在股利日拼接两个二叉树

期权与公司评估

1. 从看涨期权角度
   
   • 权益的价值$V_E$相当于行权价值为$D$，当前股价为$A$的看涨期权
   • $V_E=C$
     股东从债权人购买了一个看涨期权
   • $V_D=A-C$，收益率为$\frac{D}{V_D}-1$，应当小于无风险利率，否则存在债务风险
     债权人拥有公司
     债权人向股东出售了一个看涨期权
2. 从看跌期权角度
   
   • 债务的价值$V_D$相当于行权价值为$D$，当前股价为$A$的看跌期权，加上终值为$D$的现金
   • $V_D=\frac{D}{(1+r_f)^n}-P$
     债权人拥有一个终值为$D$的债权
     债权人向股东出售了一个看跌期权
   • $V_E=A-V_D$
     股东拥有公司
     股东欠债权人一个终值为$D$的债权
     股东从债权人购买了一个看跌期权
3. 由于权益和债务都可以视作期权，因此可以用二叉树定价