预测市场常用的AMM

机制分析

符号定义

1. n：选项个数
2. s_{i,t}：t时刻第i个选项的份数
3. \mathbf{S}_t = \left(s_{1,t},\cdots,s_{n,t}\right)：t时刻所有选项的份数构成的向量
4. p_i：第i个选项的价格
5. \pi_i：预测第i个选项的发生概率
   • \sum_{i=1}^n \pi_i\equiv 1

LMSR

1. 对数市场评分规则（logarithmic market scoring rules, LMSR）通过计算交易前后市场评分之差作为报价
2. 评分函数C(\mathbf{S})
   C(\mathbf{S}_t)=b\cdot \ln\left[\sum_{i=1}^n \exp\left({s_{i,t}}/{b}\right)\right]
   • 根据t时刻所有选项的价格情况计算市场评分
   • b为固定值，会影响市场的流动性
3. 价格函数p_i\left(\mathbf{S}\right)
   • 假设当前市场状态为\mathbf{S}_t，某用户买卖选项后市场状态为\mathbf{S}_{t+1}，则需支付
     C(\mathbf{S}_{t+1})-C(\mathbf{S}_t)
   • 若用户购买\Delta s份选项j且数额较小，则每份选项需支付的代币数为
     p=\frac{C(\mathbf{S}_{t+1})-C(\mathbf{S}_t)}{\Delta s}\quad\quad s_{i,t+1}=\begin{cases} s_{i,t} & \text{ if } i\ne j \\ s_{i,t}+\Delta s & \text{ if } i=j\end{cases}
   • 取极限得到各个选项的价格
     p_i\left(\mathbf{S}_t\right)=\lim_{\Delta s\rightarrow 0}p=\frac{\partial }{\partial s_{i,t}} C(\mathbf{S}_t)=\frac{\exp({s_{i,t}}/{b})}{\sum_{i=1}^n \exp\left({s_{i,t}}/{b}\right)}
4. 预测函数\pi_i\left(\mathbf{S}\right)
   • 在LSMR下，定价天然满足\sum_{i=1}^n p_i\left(\mathbf{S}_t\right)\equiv 1，因此价格函数即为预测函数，即
     \pi_i\left(\mathbf{S}_t\right)=p_i\left(\mathbf{S}_t\right)=\frac{\exp({s_{i,t}}/{b})}{\sum_{i=1}^n \exp\left({s_{i,t}}/{b}\right)}

DPM

1. 动态对赌市场（Dynamic Pari-Mutuel Market, DPM）的核心思想与LMSR类似，但采取了不同的评分函数
2. 评分函数C(\mathbf{S})
   C(\mathbf{S}_t)=\sqrt{\sum_{i=1}^n s_{i,t}^2}
3. 价格函数p_i\left(\mathbf{S}\right)
   • 推导过程类似LMSR
     p_i\left(\mathbf{S}_t\right)=\frac{\partial }{\partial s_{i,t}} C(\mathbf{S}_t)=\frac{s_{i,t}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n s_{i,t}^2}}
4. 预测函数\pi_i\left(\mathbf{S}\right)
   • 在DPM下，各选项价格的平方和为1，选项发生概率的预测值为价格的平方
     \pi_i\left(\mathbf{S}_t\right)=p_i^2\left(\mathbf{S}_t\right)=\frac{s_{i,t}^2}{\sum_{i=1}^n s_{i,t}^2}
   • 由于\sum_{i=1}^n p_i^2\left(\mathbf{S}_t\right)=1，因此
     \pi_i\left(\mathbf{S}_t\right)=p_i^2\left(\mathbf{S}_t\right)=\frac{p_i^2\left(\mathbf{S}_t\right)}{\sum_{i=1}^n p_i^2\left(\mathbf{S}_t\right)}
   • 这说明不仅可以根据各选项份数计算概率，还可以根据各选项价格计算得到

DPA

1. 动态价格调整算法（Dynamic Price Adjustment, DPA）假设买卖选项时每一份选项的价格相同，t时刻买入\Delta s份选项j花费的代币为
   p=p_{j,t-1}\cdot\Delta s_t
   • 完成交易后，选项j的价格更新为p_{j,t}
   • 路径依赖，存在套利机会
2. 价格函数p_{i,t}
   p_{i,t}=p_{i,t-1}+\mathrm{sign}\left(\Delta s_t\right)\cdot\max\left\{\frac{\left|\Delta s_t\right|}{b^2}\cdot\frac{\sum_{\mathrm{sign}\left(\Delta s_i\right)=\mathrm{sign}\left(\Delta s_t\right)}\left|\Delta s_i\right|}{t+1} ,\tau\right\}
   • b,\tau为流动性参数，调整每次价格的变动幅度
   • 在DPA中，交易可能导致所有选项的价格之和不再为1，此时需要归一化（如等比例缩放价格、用1作差得到其它选项的价格等），得到的价格才为真正的价格
3. 预测函数\pi_{i,t}
   • 预测概率为归一化后的价格