线性代数

金专>数学
realhuhu 620 0

第一章 行列式

行列式变换

  1. 对称
    \left|\begin{array}{ccc}a_{1n} & \cdots & a_{11} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{nn} & \cdots & a_{n1}\end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right|
  2. 滚动
    \left|\begin{array}{ccc}a_{1(1-k)} & \cdots & a_{1(n-k)} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n(1-k)} & \cdots & a_{n(n-k)}\end{array}\right|=(-1)^{k(n-1)}\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right|
  3. 行列式拆分
    \left|\begin{array}{ccc}a_1+b_1& a_2+b_2& a_3+b_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a_1& a_2& a_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|
  4. 分块
    • 某行左乘一个矩阵加到另一行，其值不变；某列右乘一个矩阵加到另一列，其值不变
      \left|\begin{array}{cc}A & B \\ C+F A & D+F B\end{array}\right|=\left|\left(\begin{array}{cc}I_m &0\\ F & I_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A & B \\ C & D\end{array}\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}I_m &0\\ F & I_n\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}A & B \\ C & D\end{array}\right|
      \left|\begin{array}{cc}A & B+A F \\ C & D+C F\end{array}\right|=\left|\left(\begin{array}{cc}A & B \\ C & D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I_m & F \\0& I_n\end{array}\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}A & B \\ C & D\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}I_m & F \\0& I_n\end{array}\right|
    • 拉普拉斯公式（按行列展开的推广）
      \left|\begin{array}{cc}A_{n n} &O\\ C_{m n} & B_{m m}\end{array}\right|=\left|A_{n n}\right|\left|B_{m m}\right|
      \left|\begin{array}{cc}O& A_{n n} \\ B_{m m} & C_{m n}\end{array}\right|=(-1)^{m n}\left|A_{n n}\right|\left|B_{m m}\right|
      \left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A & B \\ B+A & A+B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A-B & B \\0& A+B\end{array}\right|=|A+B||A-B|
      \left|\begin{array}{cc}A & B \\ C & D\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A & B \\0& D-C A^{-1} B\end{array}\right|=|A|\left|D-C A^{-1} B\right|=\left|A\left(D-C A^{-1} B\right)\right|，要求A可逆
  5. 主对角线叠加
    \begin{align} &\left|\begin{array}{lll}a_{11}+\lambda_1 & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22}+\lambda_2 & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}+\lambda_3\end{array}\right| \\ =& \lambda_1\lambda_2\lambda_3+\left(\lambda_2\lambda_3 a_{11}+\lambda_1\lambda_3 a_{22}+\lambda_1\lambda_2 a_{33}\right)+ \left(\lambda_3\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right|+\lambda_1\left|\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right|+\lambda_2\left|\begin{array}{ll}a_{33} & a_{31} \\ a_{13} & a_{11}\end{array}\right|\right) +\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right| \end{align}

    • 对于\mathbf {\alpha\beta}^T+k\mathbf E，其秩为k,\cdots,k,k+\mathbf {\beta\alpha}^T从而得到行列式值
  6. 边加
    \left|\begin{array}{cccc}\lambda-a_1^2& -a_1a_2& \cdots & -a_1a_n \\ -a_2a_1& \lambda-a_2^2& \cdots & -a_2a_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_n a_1& -a_n a_2& \cdots & \lambda-a_n^2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}1& a_1& a_2& \cdots & a_n \\0& \lambda-a_1^2& -a_1a_2& \cdots & -a_1a_n \\0& -a_2a_1& \lambda-a_2^2& \cdots & -a_2a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\0& -a_n a_1& -a_n a_2& \cdots & \lambda-a_n^2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}1& a_1& a_2& \cdots & a_n \\ a_1& \lambda &0& \cdots &0\\ a_2&0& \lambda & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n &0&0& \cdots & \lambda\end{array}\right|

    • 为行列式添加一行一列，保持行列式不变，同时实现消元
    • 当行列式各行列有比例关系、有重复向量时使用

特殊行列式

  1. 范德蒙行列式
    \left|\begin{array}{ccccc}1&1&1& \cdots &1\\ a_1& a_2& a_3& \cdots & a_n \\ a_1^2& a_2^2& a_3^2& \cdots & a_n^2\\ \cdots & \cdots & \cdots & & \cdots \\ a_1^{n-i} & a_2^{n-i} & a_3^{n-i} & \cdots & a_n^{n-i}\end{array}\right|

    • 解为 \prod_{i\lt j}\left(a_j-a_i\right)
    • 范德蒙行列式不等于0\Leftrightarrow a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n两两不同
  2. 三斜线行列式
    \begin{vmatrix} a & b & \cdots & 0 & 0\\ c & a & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a & b\\ 0 & 0 & \cdots & c & c \end{vmatrix}

    • 展开第一行，得到递推式D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2}
  3. 爪形行列式
    • 展开第一行，代数余子式都是分块三角矩阵
      \begin{vmatrix} a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-1} & a_n\\ b_1 & c_1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_{n-1} & 0\\ 0 & 0 & \cdots & b_{n} & c_n \end{vmatrix}
    • 利用对角线元素消去第一行/列
      \begin{vmatrix} a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-1} & a_n\\ b_1 & c_1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ b_{n-1} & 0 & \cdots & c_{n-1} & 0\\ b_n & 0 & \cdots & 0 & c_n \end{vmatrix}

第二章 矩阵

矩阵性质

  1. 变换
    • \boldsymbol{AB}的列一定可以用\boldsymbol{A}的列向量线性表示，系数就是\boldsymbol{B}的那一列，相当于对A做列变换
    • \boldsymbol{BA}的行一定可以用\boldsymbol{A}的行向量线性表示，系数就是\boldsymbol{B}的那一行，相当于对A做行变换
  2. 消去
    • 当\boldsymbol{A}列满秩时， \boldsymbol{A}在矩阵乘法中有左消去律：
      \begin{aligned} & A B=0\Rightarrow B=0; \\ & A B=A C \Rightarrow B=C . \end{aligned}
    • 当\boldsymbol{A}行满秩时， \boldsymbol{A}在矩阵乘法中有右消去律：
      \begin{aligned} & B A=0\Rightarrow B=0; \\ & B A=C A \Rightarrow B=C . \end{aligned}
  3. 特征
    • \boldsymbol{A}\alpha=\lambda\alpha
    • |\boldsymbol{A}|=\Pi_i\lambda_i
    • \mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=\sum_i\lambda_i
  4. 等价
    • \boldsymbol A,\boldsymbol B同型，且存在可逆的\boldsymbol P,\boldsymbol Q，使得\boldsymbol {PAQ}=\boldsymbol B
    • 类型相同秩相同则等价
    • 可以通过初等变换相互转化
    • 行(列)向量组等价\Rightarrow两个矩阵等价
  5. 相似
    • \boldsymbol A,\boldsymbol B同型方阵，且存在可逆的\boldsymbol P，使得\boldsymbol P^{-1} \boldsymbol{AP}=\boldsymbol B
    • 相似不一定合同，合同不一定相似
  6. 合同
    • \boldsymbol A,\boldsymbol B同型方阵，且存在可逆的\boldsymbol P，使得\boldsymbol P^{T} \boldsymbol{AP}=\boldsymbol B
    • 实对称矩阵相似一定合同，反过来不一定
    • 合同矩阵的秩一定相同，反过来不一定
    • 合同矩阵的要么都对称，要么都不对称

矩阵运算

伴随

  1. 定义
    \boldsymbol{A}^*=\left[\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \cdots & \cdots & & \cdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{m n}\end{array}\right]=\left(A_{i j}\right)^{\mathrm{T}}
  2. 快速求伴随矩阵
    • 二阶：主对调，副取反
    • 三阶：增广法
      D=\left[\begin{array}{lll}2&1&1\\1&2&1 \\2&3&1\end{array}\right]\Rightarrow\begin{array}{lllll}\color{Red}2&\color{Red}1&\color{Red}1&\color{Red}2&\color{Red}1\\\color{Red}1&2&1&1&2\\\color{Red}2&3&1&2&3\\\color{Red}2&1&1&2&1\\\color{Red}1&2&1&1&2\end{array}
    • 计算黑色部分的9个2×2矩阵，得到一个3×3矩阵，这个矩阵就是(D^*)^T
  3. 用途
    • 计算矩阵的逆
    • 计算代数余子式
  4. \boldsymbol{A}^T=k\boldsymbol{A}^\ast
    • a_{ij}=kA_{ij}
    • \left|\boldsymbol{A}\right|=\sum_{i=1}^n a_{ki}^2=0,\sqrt[n-2]{\frac{1}{k^n}}，等于零的充分必要条件是\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}

转置

  1. 性质
    • r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)
  2. 作用
    • 调换矩阵位置

逆

  1. 可逆性的判别
    • n阶矩阵\boldsymbol{A}可逆\ \Leftrightarrow\ |\boldsymbol{A}| \neq0\ \Leftrightarrow\ \boldsymbol{A X}=\boldsymbol{\beta}有唯一解; \boldsymbol{A X}=\mathbf{0}只有零解\ \Leftrightarrow\ \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n\ \Leftrightarrow\ 0不是\boldsymbol{A}的特征值
  2. 逆矩阵的作用
    • 满秩说明行列都满秩，满足左右消去律
    • 左右同时乘以可逆矩阵是恒等变形
    • 通过可逆实现矩阵交换位置：\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E} \Leftrightarrow \boldsymbol{B A}=\boldsymbol{E}
    • 乘以可逆矩阵不影响秩
  3. 逆矩阵的计算
    • 初等变换法：(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E}) \rightarrow\left(\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{A}^{-1}\right)
    • 伴随矩阵法： A^{-1}=\frac{A^*}{|\boldsymbol{A}|}

秩

  1. 行秩与列秩
    • 矩阵的行秩一定等于列秩
    • 方阵可逆\Leftrightarrow方阵行满秩\Leftrightarrow方阵列满秩
  2. 性质
    • 秩为n，则存在n阶非零子式
    • \mathrm{r}(\boldsymbol{A_{mn}})\le\min(m,n)
    • \mathrm{r}(\boldsymbol{A} \pm \boldsymbol{B}) \leqslant \mathrm{r}(\boldsymbol{A})+\mathrm{r}(\boldsymbol{B})
    • \mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \leqslant \operatorname{Min}\{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}
      即\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \leqslant \mathrm{r}(\boldsymbol{A})，\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \leqslant \mathrm{r}(\boldsymbol{B})
      如果\boldsymbol{A}列满秩，则\mathrm{r}(\boldsymbol{A B})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})，\boldsymbol{A B}与\boldsymbol{B}行向量等价(同解)
      如果\boldsymbol{B}行满秩，则\mathrm{r}(\boldsymbol{A B})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A})，\boldsymbol{A B}与\boldsymbol{A}列向量等价
    • 若\boldsymbol{A_{mn}}\boldsymbol{B_{ns}}=\boldsymbol{O}，则
      \mathrm{r}(\boldsymbol{A} \pm \boldsymbol{B}) \leqslant\mathrm{r}(\boldsymbol{A})+\mathrm{r}(\boldsymbol{B})\le n
      若\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\ne\boldsymbol{O}：1\le\mathrm{r}(\boldsymbol{A}),\mathrm{r}(\boldsymbol{B})\le n-1；\boldsymbol{A}列相关，\boldsymbol{B}行相关
    • 若\boldsymbol{A_{mn}}\boldsymbol{B_{nm}}=\boldsymbol{E}，则
      \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=m\le n
      \boldsymbol{A}行无关，\boldsymbol{B}列无关
    • \boldsymbol{A }^2=k\boldsymbol{A }\Rightarrow \mathrm r(\boldsymbol{A })+\mathrm r(k\boldsymbol{E }-\boldsymbol{A })=n
  3. 计算方法
    • 化为行最简形矩阵
    • 寻找最高阶非零子式
    • 存在不为零的代数余子式则秩至少为n-1

复合运算

(F\circ G)(\mathbf{A}) \mathbf{G}^T \mathbf{G}^{-1} \mathbf{G}^\ast |\mathbf{G}| r(\mathbf{G}) \lambda(\mathbf{G}) \mathbf{\eta}(\mathbf{G})
\mathbf{F}^T \mathbf{A} \mathbf{A}^{-T} |\mathbf{A}|\mathbf{A}^{-T} |\mathbf{A}| r(\mathbf{A}) \lambda ①
\mathbf{F}^{-1} \mathbf{A}^{-T} \mathbf{A} \frac{1}{|\mathbf{A}|}\mathbf{A} \frac{1}{|\mathbf{A}|} n \frac{1}{\lambda} \mathbf{\eta}
\mathbf{F}^\ast |\mathbf{A}|\mathbf{A}^{-T} \frac{1}{|\mathbf{A}|}\mathbf{A} |\mathbf{A}|^{n-2}\mathbf{A} |\mathbf{A}|^{n-1} n,1,0 \frac{|\mathbf{A}|}{\lambda} ②
k\mathbf{F} k\mathbf{A}^T \frac{1}{k}\mathbf{A}^{-1} k^{n-1}|\mathbf{A}|\mathbf{A}^{-1} k^{n}|\mathbf{A}| r(\mathbf{A}) k\lambda \mathbf{\eta}
\mathbf{K}\mathbf{F} \mathbf{A}^T\mathbf{K}^T \mathbf{A}^{-1}\mathbf{K}^{-1} |\mathbf{K}||\mathbf{A}|\mathbf{A}^{-1}\mathbf{K}^{-1} |\mathbf{K}||\mathbf{A}| / / /
f(k_i,\mathbf{F}) f(k_i,\mathbf{A}^T) f(\frac{1}{k_i},\mathbf{A}^{-1}) f(k_i^{n-1},|\mathbf{A}|\mathbf{A}^{-1}) f(k_i^n,|\mathbf{A}|) / f(k_i,\lambda) \mathbf{\eta}
\mathbf{P}^{-1}\mathbf{F}\mathbf{P} / / / / r(\mathbf{A}) \lambda \mathbf{P}^{-1}\eta

①转置矩阵与原矩阵的同一个特征值的特征向量一定不正交；不同特征值的特征向量一定正交
②若\mathbf{A}可逆则为\mathbf{\eta}

分块矩阵

  1. 运算
    线性代数

    • 左矩阵的行划分与右矩阵的列划分决定结果矩阵的划分
    • 左矩阵的列划分与右矩阵的行划分一一对应
    • 常用
      \begin{align} &A\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=\left(A \alpha_1, A \alpha_2, A \alpha_3\right) \\ &\left(2\alpha_1+3\alpha_2,4\alpha_1+5\alpha_2\right)=\left(\alpha_1, \alpha_2\right)\left(\begin{array}{ll}2&4\\3&5\end{array}\right) \end{align}
  2. 秩
    • r\left(\begin{array}{ll}A &O\\C& B\end{array}\right)\ge r(A)+r(B)\quad\quad r\left(\begin{array}{ll}A& C \\ O &B\end{array}\right)\ge r(A)+r(B)，A或B可逆，或C=O时取等
    • 初等行变换不影响秩
    • 极大无关组的个数
  3. 逆
    {\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{-1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{B}^{-1}\end{array}\right]} \quad {\left[\begin{array}{ll}\mathbf{0} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \mathbf{0}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{0} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \mathbf{0}\end{array}\right]}

    • 反三角先对换对角线，左乘同行右乘同列再加负号
  4. 转置
    \left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \boldsymbol{D}\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A}^T & \mathbf{C}^T \\ \mathbf{B}^T & \boldsymbol{D}^T\end{array}\right]
  5. 初等变换
    • \boldsymbol{E}充当1的角色，用来消去其它元素
    • 行变换时左乘，列变换时右乘

常见矩阵

初等矩阵

  1. 定义
    • 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
    • \boldsymbol{E}(i, j)：行和行的变换(对换变换)
    • \boldsymbol{E}(i(c))：行 × 常数的变换(倍乘变换)
    • \boldsymbol{E}(i, j(c))：行 x 常数再加另一行的变换(倍加变换)
  2. 逆
    • \boldsymbol{E}(i, j)^{-1}=\boldsymbol{E}(i, j)
    • \boldsymbol{E}(i(c))^{-1}=\boldsymbol{E}\left(i\left(c^{-1}\right)\right)
    • \boldsymbol{E}(i, j(c))^{-1}=\boldsymbol{E}(i, j(-c))
  3. 行列式
    • \left| \boldsymbol{E}(i, j) \right | = -1
    • \left| \boldsymbol{E}(i(c)) \right | = c
    • \left| \boldsymbol{E}(i, j(c)) \right | = 1

对角矩阵

  1. 特性
    • 对角矩阵左乘矩阵，相当于用它的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量。对角矩阵右乘矩阵，相当于用它的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量
    • 两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘
    • 对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂
    • 对角矩阵的秩等于主对角线上非零元素个数，这些元素就是特征值
  2. 逆
    • 对角矩阵可逆\Leftrightarrow对角线上元素都不为0
    • 将对角线每个元素变为倒数得到逆矩阵
  3. 相似对角化
    • \mathrm{diag}(\{\lambda_i\})=\boldsymbol{E}^{-1}\mathrm{diag}(\{\lambda_i\})\boldsymbol{E}
    • 对角线元素就是特征值，对应位置的基向量就是特征向量

上三角矩阵

  1. 性质
    • 上三角矩阵\boldsymbol{A}和\boldsymbol{B}的乘积还是上三角矩阵；并且\boldsymbol{A B}的对角线元素就是\boldsymbol{A}和\boldsymbol{B}对应对角线元素的乘积
    • 上三角矩阵多项式{f(\boldsymbol{A})}还是上三角矩阵，并且对角线元素为f\left(a_{11}\right), f\left(a_{22}\right), \cdots, f\left(a_{n n}\right)
    • 求上三角矩阵的n次方：拆成三角矩阵与对角矩阵的和，然后用二项式定理
  2. 相似对角化
    • \boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}^{-1}\mathrm{diag}(\{a_{ii}\})\boldsymbol{P}
    • 对角线元素就是特征值

增广矩阵

  1. 秩
    • \mathrm{r}(\boldsymbol{A})\le\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B})\le\mathrm{r}(\boldsymbol{A} +\boldsymbol{B})
  2. 线性相关性
    • \mathrm{r}(\boldsymbol{A})\lt\mathrm{r}( \boldsymbol{A}\mid \boldsymbol{\beta})\Leftrightarrow\boldsymbol{\beta}不能用\boldsymbol{A}的列向量线性表示
    • \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}( \boldsymbol{A}\mid \boldsymbol{\beta})=n\Leftrightarrow\boldsymbol{\beta}能用\boldsymbol{A}的列向量唯一表示
    • \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}( \boldsymbol{A}\mid \boldsymbol{\beta})\lt n\Leftrightarrow\boldsymbol{\beta}能用\boldsymbol{A}的列向量无穷表示
  3. 含逆矩阵乘积
    • \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}\Rightarrow(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B}) \Rightarrow\left(\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}\right)
    • \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}^{-1}\Rightarrow\left(\begin{matrix} \mathbf B \\ \mathbf A \end{matrix}\right)\Rightarrow\left(\begin{matrix} \mathbf E \\ \mathbf {AB}^{-1} \end{matrix}\right)
  4. 求线性表示
    \sum k_i\boldsymbol{a_i}=\boldsymbol{\beta}\ \Rightarrow \ (\{\boldsymbol{a_i}\})(\{\boldsymbol{k_i}\})^T=\boldsymbol{\beta}\ \Rightarrow\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{K}=\boldsymbol{\beta}

    • 因此方程\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}的解就是\boldsymbol{a_i}对\boldsymbol{\beta}线性表示的系数
    • 根据\mathrm{r}(\boldsymbol{A}),\mathrm{r}( \boldsymbol{A}\mid \boldsymbol{\beta}),n的关系判断是否可以线性表示、线性表示是否无穷
  5. 求广义逆乘积
    \boldsymbol{P}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\ \Rightarrow \ \boldsymbol{P}(\{\boldsymbol{\alpha}_i\})=(\{\boldsymbol{\beta}_i\})\ \Rightarrow \ (\boldsymbol P|\{\boldsymbol{\beta}_i\})

    • 当\boldsymbol P不可逆时无法用逆矩阵计算\boldsymbol A，此时将\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}看做n个列向量从而化为n个线性方程组，从而逐一计算\boldsymbol{A}的列向量\boldsymbol \alpha
    • 将(\boldsymbol P|\{\boldsymbol{\beta}_i\})化为行最简形，得到n个线性方程组解集，每个解集对应一个\boldsymbol{A}的列向量\boldsymbol \alpha

外积矩阵

  1. 形如\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}
  2. 特点
    • 充要条件：\mathrm{r}(\boldsymbol{A}) \leqslant1
    • 特征值为0,0, \cdots,0, \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}
    • \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha} =\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})，由于是数，可以随意交换顺序
    • \boldsymbol{A}^k=\left(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right)^{k-1} \boldsymbol{A}=(\operatorname{tr}(\boldsymbol{A}))^{k-1} \boldsymbol{A}
    • 秩一方程组：\mathrm{r}(\boldsymbol{A}) =1则\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0的解集等价于A_{11}x_1+A_{12}x_2+\cdots+A_{1n}x_n=0的解集
  3. 特征值和特征向量
    • 由于\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}为秩1矩阵，因此只有第一行有效，求出0的n-1个特征向量
    • 由于\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=(\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{\beta})\boldsymbol{\alpha}，因此\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{\beta}的特征向量为\boldsymbol{\alpha}
  4. 相似对角化
    • 当\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\ne 0时可以相似对角化
      \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ccccc}a_1& b_2& b_3& \cdots & b_n \\ a_2& -b_1&0& \cdots &0\\ a_3&0& -b_1& \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n &0&0& \cdots & -b_1\end{array}\right)\quad\quad\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{llll}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha} & & & \\ &0& & \\ & & \ddots & \\ & & &0\end{array}\right)
    • 第一个特征值由\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha} 得到，后n-1个特征值由秩一方程组性质得到

正交矩阵

  1. \mathbf{A}^T=\mathbf{A}^{-1}=|\mathbf{A}|^{2k-1}\mathbf{A}^{\ast}
  2. 特性
    • 列向量都是单位向量，且两两正交
    • 行列式值为正负一
    • \left(1-\left|\boldsymbol{A}\right|\right)\left|\boldsymbol{A}+\boldsymbol E\right|=0，\left(1-(-1)^n\left|\boldsymbol{A}\right|\right)\left|\boldsymbol{A}-\boldsymbol E\right|=0
  3. 相似对角化
    • 正交矩阵一定可以相似对角化

实对称矩阵

  1. \mathbf{A}^T=\mathbf{A}
  2. 性质
    • 实对称矩阵\Leftrightarrow有n个两两正交的特征向量
    • 实对称矩阵有n-\mathrm{r}(\mathbf{A})个零特征值
    • 实对称矩阵不同特征值的特征向量一定是正交的，同一特征值的不同特征向量线性无关
    • 实对称矩阵几何重数等于代数重数，因此秩 = 阶数 - 特征值0的重数
  3. 相似对角化
    • 实对称矩阵的特征值都是实数、特征值的重数都为n-\mathrm r(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E})、不同特征值的特征向量相互正交
    • 实对称矩阵一定能相似对角化：\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{-1}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{T}， 其中\boldsymbol{Q}为正交矩阵
    • 对相似对角化得到的\boldsymbol{P}正交化单位化得到\boldsymbol{Q}
  4. 合同
    • 实对称矩阵相似一定合同，合同不一定相似
    • 实对称矩阵与自己的逆合同
    • 任何实对称矩阵都合同与对角阵和规范对角阵
    • 两个实对称矩阵合同的充要条件是正负惯性指数都相同
    • 实对称矩阵正负惯性指数的个数等于正负特征值的个数
    • 实对称矩阵正定\Leftrightarrow特征值都大于0\Leftrightarrow正惯性指数等于阶数\Leftrightarrow合同于单位矩阵\Leftrightarrow存在可逆矩阵\boldsymbol C使得\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{C}\Leftrightarrow顺序主子式都大于0
  5. 谱分解
    • \boldsymbol{A} =\boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{T}=(\{\boldsymbol{\eta}_i\})\mathrm{diag}(\{\lambda_i\})(\{\boldsymbol{\eta}_i^T\})^T=\sum \lambda_i\boldsymbol{\eta}_i\boldsymbol{\eta}_i^T，要求特征值单位化且两两正交
    • 知道实对称矩阵的特征值和特征向量求实对称矩阵
    • 通常构造\boldsymbol{A}-k\boldsymbol{E}使得只有一个非零特征值

实反对称矩阵

  1. \mathbf{A}^T=-\mathbf{A}
  2. 性质
    • 奇数阶的行列式为0，偶数阶的行列式大于等于0
    • 对任意\boldsymbol{\xi}，总有\boldsymbol{\xi}^T\mathbf{A}\boldsymbol{\xi}=0
    • k是特征值，则-k一定是特征值
    • 实反对称矩阵的特征值为0或虚数
    • \mathbf{A}+k\mathbf{E}一定满秩
    • 特征向量的内积为0

第三章 N维向量

线性表示

  1. 定义
    • 向量的线性表示：向量\boldsymbol{\beta}可写成\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s的线性组合
    • 向量组的线性表示：向量组\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t中的向量都可以写成\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s的线性组合
      剩余组被极大无关组线性表示
    • 向量组的等价：两个向量组可以互相线性表示，记为\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_t\right\}\cong\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right\}
      \left\{\boldsymbol{\alpha}_i \right\}\cong\left\{\boldsymbol{\beta}_i \right\}\Leftrightarrow\mathrm r(\left\{\boldsymbol{\alpha}_i \right\})=\mathrm r(\left\{\boldsymbol{\alpha}_i \right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_i \right\})=\mathrm r(\left\{\boldsymbol{\beta}_i \right\})
      \boldsymbol{AX}=\boldsymbol B,\boldsymbol{BX}=\boldsymbol A均有解
  2. 性质
    • 等价得到值相等，秩相等加上存在线性表示得到等价
    • 线性表示与等价具有传递性
    • 方程组\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{\beta}有解\Leftrightarrow \boldsymbol{\beta}可用\boldsymbol{A}的列向量组线性表示，且系数构成的向量就是\boldsymbol{X}
      方程组\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{A }=\boldsymbol{\beta}^T有解\Leftrightarrow \boldsymbol{\beta}可用\boldsymbol{A}的行向量组线性表示，且系数构成的向量就是\boldsymbol{X}
    • 向量组\left\{\boldsymbol{\beta}_i \right\}可以用\left\{\boldsymbol{\alpha}_i\right\}线性表示，则
      \left(\boldsymbol{\beta}_i\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_i\right)\boldsymbol{C}\quad\left(\boldsymbol{\beta}_i\right)^T=\boldsymbol{C}^T\left(\boldsymbol{\alpha}_i\right)^T
      其中\boldsymbol{C}为\left\{\boldsymbol{\beta}_i \right\}对\left\{\boldsymbol{\alpha}_i\right\}的表示矩阵，当且仅当\left\{\boldsymbol{\alpha}_i\right\}线性无关时，表示矩阵唯一
    • 对于\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}
      如果\boldsymbol{B}是可逆矩阵，则\boldsymbol{A}的列向量和\boldsymbol{C}的列向量组等价
      如果\boldsymbol{A}是可逆矩阵，则\boldsymbol{B}的行向量组和\boldsymbol{C}的行向量组等价
    • 向量组\left\{\boldsymbol{\alpha}_i \right\}可以用\left\{\boldsymbol{\beta}_i \right\}线性表示，则\mathrm{r}(\left\{\boldsymbol{\alpha}_i \right\})\le\mathrm{r}(\left\{\boldsymbol{\beta}_i \right\})

线性相关性

  1. 定义
    • 如果向量组\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s中有向量可以用其他的s-1个向量线性表示，就说\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s线性相关
    • 如果向量组\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s中每个向量都不可用其他的s-1个向量线性表示，就说\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s线性无关
    • 如果存在不全为0的一组数c_1, c_2, \cdots, c_s使得
      c_1\boldsymbol{\alpha}_1+c_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+c_s \boldsymbol{\alpha}_s=\mathbf{0}
      则说\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s线性相关，否则就说它们线性无关。 （即要使得c_1\boldsymbol{\alpha}_1+c_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+c_s \boldsymbol{\alpha}_s=\mathbf{0}，必须c_1, c_2, \cdots, c_s全为0。)
  2. 性质
    • 同乘可逆矩阵，秩不变；同乘不可逆矩阵，秩可能变小
    • 向量组\left\{\boldsymbol{\alpha}_i \right\}线性无关\Leftrightarrow\mathrm{r}(\left\{\boldsymbol{\alpha}_i \right\})=n
    • 0\leqslant \operatorname{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right) \leqslant \operatorname{Min}\{s, n\}
    • \left\{\boldsymbol{\alpha}_i \right\}线性无关(相关)\Leftrightarrow齐次方程组\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{0}只有零解（有非零解）
    • 两个向量组，组内无关，组间正交，则合并组无关
    • \operatorname{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s-n}\right)+n\ge \operatorname{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)

常用技巧

  1. 看到向量组的线性组合，就写成矩阵乘以向量
  2. 利用等于0的条件逐步消去系数，得到系数乘以一个非零数为0，因此该系数为0，递推得到所有系数为0
  3. 对列向量进行加减从而化简，然后利用秩证明
  4. 从向量组中找到极大线性无关组：将列向量矩阵化为行最简形矩阵，拐弯处对应的向量构成极大线性无关组

第四章 线性方程组

齐次线性

  1. 对于齐次方程组\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}：根据末知数个数n, \mathrm{r}(\boldsymbol{A})判断
    • \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n （即\boldsymbol{A}列满秩) \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}只有零解（唯一解）) \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}\ne\mathbf{0}\quad(\boldsymbol{\eta}\ne 0)
    • \mathrm{r}(\boldsymbol{A})\lt n \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}有非零解（无穷解）
  2. 基础解系
    • 当齐次线性方程组有无穷个解时，解的极大无关组为基础解系，有n-\mathrm{r}(\boldsymbol{A})个向量
    • 系数矩阵行最简形的非拐弯处为一定可以作为自由变量，取反补上n-\mathrm{r}(\boldsymbol{A})维单位阵就是基础解系矩阵
    • 除去自由变量对应的列后，剩余的系数矩阵一定满秩
    • 通解为基础解系的线性组合
  3. 性质
    • 有解时，解集的秩是n-\mathrm{r}(\boldsymbol{A})
    • \boldsymbol{A}(0,1,2,1)^T=0，即\boldsymbol{\alpha}_2+2\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4=\mathbf 0，则\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4线性相关
    • \mathrm r(\mathbf A)\lt n，则\mathbf A^\ast \mathbf A=\left|\mathbf A\right|\mathbf E=0，即\mathbf A的列向量是\mathbf A^\ast \mathbf X=\mathbf O的解，基础解系是列向量的极大线性无关组
  4. 求解
    • 确定矩阵的秩：则自由变量个数为n-\mathrm{r}(\boldsymbol{A})
    • 化解矩阵为：化简矩阵为行最简形
    • 选取自由变量：满足遮住自由变量后的矩阵为单位阵
    • 求解导出组：根据自由变量位置填入单位阵，自由变量遮住的数取相反数按顺序填充

非齐次线性

  1. \boldsymbol{A X}=\boldsymbol{\beta}：根据末知数个数n, \mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{\beta})判断
    • 无解\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})\lt \mathrm{r}(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{\beta})。
    • 有唯一解\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{\beta})=n。
    • 有无穷多解\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{\beta})\lt n。
  2. 方程的个数m虽然在判别公式中没有出现，但它是\mathrm{r}(\boldsymbol{A})和\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{\beta})的上界
    • \mathrm{r}(\boldsymbol{A})=m时，\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A}\mid \boldsymbol{\beta})=m，\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}一定有解
    • m\lt n时，一定不是唯一解
  3. 性质
    • 有解时，解集的秩是n-\mathrm{r}(\boldsymbol{A})+1
    • \{\boldsymbol{\xi}_i\}是\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{\beta}的解，则
      \sum_i c_i\boldsymbol{\xi}_i是\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{\beta}的解，当且仅当\sum_i c_i=1
      \sum_i c_i\boldsymbol{\xi}_i是\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{0}的解，当且仅当\sum_i c_i=0
    • 通解为特解加基础解系的线性组合，特解可以根据系数矩阵行最简形，将自由变量取0得到
  4. 公共解
    • 已知两线性方程组：直接联立当成一个线性方程求解
    • 已知一线性方程组和一基础解系\boldsymbol \eta+\sum k_i\boldsymbol \eta_i：将基础解系代入线性方程组，解出k_i间的关系，代入基础解系消元后就是公共解
    • 已知两基础解系\boldsymbol \eta+\sum_{i=1}^{n} k_i\boldsymbol \eta_i和\boldsymbol \xi+\sum_{j=1}^{m} l_j\boldsymbol \xi_j：令基础解系一等于基础解系二，解出k_i间的关系，代入基础解系一消元后就是公共解
  5. 同解
    • \boldsymbol{AX}=\boldsymbol{O}的解是\boldsymbol{BX}=\boldsymbol{O}的解\Leftrightarrow\boldsymbol B行向量被\boldsymbol A的线性表示\Leftrightarrow \boldsymbol{AX}=\boldsymbol{O}与\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{BX}=\boldsymbol{O}\end{array}\right.同解\Leftrightarrow \mathrm r(\boldsymbol A)=\mathrm r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol A \\ \boldsymbol B\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm r(\boldsymbol A)\ge\mathrm r(\boldsymbol B)
    • \mathbf{AX}=\mathbf{O}与\mathbf{BX}=\mathbf{O}同解\Leftrightarrow\mathbf{AX}=\mathbf{O}的解是\mathbf{BX}=\mathbf{O}的解，\mathbf{BX}=\mathbf{O}的解是\mathbf{AX}=\mathbf{O}的解（解的角度）
    • \mathbf{AX}=\mathbf{O}与\mathbf{BX}=\mathbf{O}同解\Leftrightarrow\mathrm r(\mathbf A)=\mathrm(\mathbf B)=\mathrm r \left(\begin{array}{l}\mathbf A \\ \mathbf B\end{array}\right)（秩的角度）
    • \mathbf{AX}=\mathbf{O}与\mathbf{BX}=\mathbf{O}同解\Leftrightarrow\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{O}的解是\boldsymbol{BX}=\boldsymbol{O}的解且\mathrm r(\boldsymbol A)= \mathrm r(\boldsymbol B)（解+秩的角度）

克拉默法则

  1. 此时\boldsymbol{A}是方阵
    • 对于非齐次线性方程组，\boldsymbol{A}满秩时有唯一解，否则无解或解不唯一
    • 对于齐次线性方程组，\boldsymbol{A}满秩时有只有非零解，否则只有零解
  2. 方程组的解
    • \left(D_1/|\boldsymbol{A}|, D_2/|\boldsymbol{A}|, \ldots, D_n /|\boldsymbol{A}|\right)
    • 这里D_i是把|\boldsymbol{A}|的第i个列向量换成常数列向量\boldsymbol{\beta}所得到的行列式的值
  3. 对增广矩阵(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{\beta})作初等行变换，使得\boldsymbol{A}变为单位矩阵，\boldsymbol{\eta}就是解
    • (\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{\beta}) \rightarrow(\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{\eta})

特征值与特征向量

特征值与特征向量的概念

  1. 定义
    • 设\boldsymbol{A}是n阶方阵，若对于某一数\lambda_i，存在至少一个的非零向量\boldsymbol{\eta_i},满足\boldsymbol{A}\boldsymbol{\eta_i}=\lambda_i\boldsymbol{\eta_i}，则
      \lambda_i为\boldsymbol{\eta_i}的特征值
      \boldsymbol{\eta_i}为\lambda_i的特征向量之一
      \mathfrak{N}_i为\lambda_i的特征空间，由\lambda_i全部的特征向量张成
      \{\boldsymbol{\eta}\}_i为\mathfrak{N}_i的一组极大线性无关组
      \mathrm{dim}(\mathfrak{N}_i)=\mathrm{card}(\{\boldsymbol{\eta}\}_i)=n-\mathrm r(\boldsymbol{A}-\lambda_i\boldsymbol{E})为\lambda_i的几何重数，即特征空间的维数或\lambda_i的线性无关向量数
    • \left|\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\right|为\boldsymbol{A}的特征多项式
      令特征多项式等于0，得到全部的特征值\lambda_i，解的重数为\lambda_i的代数重数
  2. 计算方法
    • 已知\boldsymbol{A}求特征值：\lambda是特征值\Leftrightarrow\left|\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\right|=0
    • 已知\lambda求特征向量：\boldsymbol{\eta}是特征向量\Leftrightarrow\boldsymbol{\eta}是\left(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\right)\boldsymbol{X}=0的非零解
    • 已知\boldsymbol{A}和特征值\lambda求特征值，\boldsymbol{A}\boldsymbol{\eta}=\lambda\boldsymbol{\eta}
    • 已知特征值\lambda_i和特征向量\boldsymbol{\eta_i}求\boldsymbol{A}：\boldsymbol{A}=(\lambda_i\boldsymbol{\eta_i})(\boldsymbol{\eta_i})^{-1}
  3. 性质
    • \boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}可逆\Leftrightarrow \left|\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\right|\ne 0\Leftrightarrow\lambda不是特征值
    • \boldsymbol{A}可逆\Leftrightarrow \left|\boldsymbol{A}\right|\ne 0\Leftrightarrow 0不是特征值
    • f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow f(\lambda)=0，即零化多项式的解就是特征值
    • 所有特征值的代数重数之和等于n；特征值的代数重数 ≥ 特征值的几何重数
    • 不同特征值的特征向量之间一定线性无关
    • \boldsymbol{AB}与\boldsymbol{BA}具有相同特征值

相似对角化

  1. 相似
    • 满足\boldsymbol{P^{-1}AP}=\boldsymbol{B}，记作\boldsymbol{A}\overset{\boldsymbol{P}}{\sim}\boldsymbol{B}
    • 相似关系具有对称性、传递性、自反性
    • 数量矩阵满足\boldsymbol{AP}=\boldsymbol{PA}，因此\boldsymbol{P^{-1}AP}=\boldsymbol{A}，只与自己相似
    • \boldsymbol{A},\boldsymbol{B}有一个可逆时，\boldsymbol{AB}{\sim}\boldsymbol{BA}
    • \boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}\Leftrightarrow \eta(\boldsymbol{A})=\eta(\boldsymbol{B})且\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}都可以相似对角化
  2. 若\boldsymbol{A}\overset{\boldsymbol{P}}{\sim}\boldsymbol{B}，则
    • \boldsymbol{A^{-1}}\overset{\boldsymbol{P}}{\sim}\boldsymbol{B^{-1}},\boldsymbol{A^{\ast}}\overset{\boldsymbol{P}}{\sim}\boldsymbol{B^{\ast}},f(\boldsymbol{A})\overset{\boldsymbol{P}}{\sim}f(\boldsymbol{B}),\boldsymbol{A^{T}}\overset{\boldsymbol{P^{-T}}}{\sim}\boldsymbol{B^{T}}
    • \left|\boldsymbol{A}\right|=\left|\boldsymbol{B}\right|,\left|\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\right|=\left|\boldsymbol{B}-\lambda\boldsymbol{E}\right|,\mathrm r(\boldsymbol{A})=\mathrm r(\boldsymbol{B}),\mathrm {tr}(\boldsymbol{A})=\mathrm {tr}(\boldsymbol{B})
    • \boldsymbol{A},\boldsymbol{B}具有相同的特征多项式
  3. 判断\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}是否相似
    • \boldsymbol{A},\boldsymbol{B}的迹、秩、行列式是否相同
    • \boldsymbol{A},\boldsymbol{B}的特征值与对应几何重数是否相同（充要条件）
  4. 相似对角化：找到一个和原矩阵相似的对角矩阵
    • 判断相似对角化：\boldsymbol{A}可以相似对角化\Leftrightarrow\boldsymbol{A}有n个线性无关的特征向量\Leftrightarrow\boldsymbol{A}的特征值的几何重数等于代数重数
    • 构造对角矩阵：对每个特征值\lambda_i，计算(\boldsymbol{A}-\lambda_i\boldsymbol{E})\boldsymbol{X}=\boldsymbol{0}的基础解系，得到n个线性无关的特征向量，则\boldsymbol{A}=(\{\boldsymbol{\eta}\}_i)\mathrm{diag}(\{\lambda_i\boldsymbol{E}_{\mathrm{card}(\{\boldsymbol{\eta}\}_i)}\})(\{\boldsymbol{\eta}\}_i)^T

二次型

二次型矩阵

  1. 多项式方程
    • 设二次型f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^na_{ii}x_i^2+2\sum_{i\ne j}a_{ij}x_ix_j，则
      f(x_1,\cdots,x_n) = (x_1,\cdots,x_n)^T\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right|(x_1,\cdots,x_n)=\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}
    • 称\boldsymbol{A}为f(x_1,\cdots,x_n)的矩阵，\mathrm r(\boldsymbol{A})为f(x_1,\cdots,x_n)的秩
  2. 二次型的种类
    • 实二次型：系数和变量取值范围都是实数
    • 标准二次型：交叉项的系数都为0，矩阵为对角矩阵
    • 规范二次型：矩阵为\mathrm{diag}(\boldsymbol{E}_p,-\boldsymbol{E}_q,\boldsymbol{O}_{n-p-q})

可逆线性变量替换

  1. 合同
    • 两个n阶实对称矩阵\boldsymbol{A}和\boldsymbol{B}，如果存在可逆实矩阵\boldsymbol{C}，使得\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A C}，则称\boldsymbol{A}和\boldsymbol{B}合同
  2. 线性变量替换
    \left\{\begin{array}{l}x_1=c_{11} y_1+c_{12} y_2+\cdots+c_{1n} y_n, \\ x_2=c_{21} y_1+c_{22} y_2+\cdots+c_{2n} y_n, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_n=c_{n1} y_1+c_{n2} y_2+\cdots+c_{n n} y_n,\end{array}\right.\Leftrightarrow \boldsymbol{X}=\boldsymbol{C} \boldsymbol{Y}=\left[\begin{array}{cccc}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \cdots & \cdots & & \cdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{n n}\end{array}\right]\boldsymbol{Y}

    • 若\boldsymbol{C}可逆，则称为可逆线性变量替换
    • 要求\{y_i\}线性无关
  3. 若f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)的矩阵为\boldsymbol{A}，则
    • g\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \boldsymbol{Y}
    • 即g\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)的矩阵为\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}
    • 两个二次型可以用可逆线性变换互相转化的充分必要条件为它们的矩阵合同
  4. 若\boldsymbol{C}还是正交矩阵，则为正交变换
    • 两个二次型可以用正交变换互相转化的充分必要条件为它们的矩阵相似
    • \boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{C}\boldsymbol{Y}=(\boldsymbol{C}\boldsymbol{Y})^{\mathrm{T}}\boldsymbol{C}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{X}

二次型标准化和规范化

  1. 定义
    • 标准化：构造可逆实矩阵\boldsymbol{C}，使得\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}为对角矩阵
    • 规范化：构造可逆实矩阵\boldsymbol{C}，使得\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}为规范对角矩阵
    • 任何二次型矩阵都合同于对角阵和规范对角阵，任何二次型都可以标准化和规范化
  2. 方法
    • 配方法：将原多项式写成多个完全平方式的和，然后换元替代，反解出x的表达式，从而得到\boldsymbol{C}
      若不包含平方项，先代入y_1=x_1+x_2,y_2=x_1-x_2,y_3=x_3，然后再次配方
    • 正交变换法：求特征值和特征向量，特征向量正交化单位化，拼凑得到\boldsymbol{C}，正交变换的充要条件是两个矩阵相似
  3. 惯性定理
    • 标准二次型的形式不唯一，规范二次型唯一，且它们的平方项的系数中正的和负的个数是一定的，正的个数和负的个数分别称为正惯性指数和负负惯性指数
    • 非零惯性指数的和等于二次型的秩

正定二次型和正定矩阵

  1. 定义
    • 若x_i不全为0，二次型恒大于0，则二次型为正定二次型，对应的矩阵为正定矩阵
  2. 性质
    • 标准二次型正定的充要条件是平方项系数都大于0，实对角矩阵正定的充要条件是对角线元素和主子式都大于0
    • 对任意\boldsymbol{\eta}，都有\boldsymbol{\eta}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{\eta}\gt 0
    • 合同的矩阵正定性相同
    • \boldsymbol{A}正定\Leftrightarrow\exist \left|\boldsymbol{P}\right|\ne0, \boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{P}
  3. 证明正定矩阵
    • 首先证明是实对称矩阵
    • 证明正定性的方法
      证明对任意不为零的\boldsymbol{\eta}，满足\boldsymbol{\eta}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{\eta}\gt 0

其它

  1. 代数余子式
    • 余子式M_{ij}与代数余子式A_{ij}
      A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}
    • 一行代数余子式之和
      对于计算\sum_{j=1}^{n} c_jA_{kj}，将c_j代入矩阵kj位置再计算行列式即可
    • 全部代数余子式之和
      利用行列式
      x \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n A_{i j}=\left|\begin{array}{ccc}a_{11}+x & \cdots & a_{1n}+x \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}+x & \cdots & a_{n n}+x\end{array}\right| -\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right|
      求伴随矩阵，计算所有元素的和
  2. \boldsymbol{A}行和为c
    • \left|\boldsymbol{A}\right|的第一行可以改成c
    • \boldsymbol{A}(1,\cdots,1)^T=(c,\cdots,c)^T
    • \boldsymbol{A^{-1}}(c,\cdots,c)^T=(1,\cdots,1)^T
  3. 计算\boldsymbol{A}^n
    • 相似对角化
    • 拆成对角矩阵和幂零矩阵，然后利用二项式定理
    • 如果各行之间成比例，拆成\alpha\beta^T计算
    • 计算几个低阶次方，找规律
    • 化为分块矩阵计算
  4. 证明\left|\boldsymbol{A}\right|的性质
    • 利用\left|\boldsymbol{A}\right|=\sum a_{ij}A_{ij}
    • 证明\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{0}只有零解或非零解，设\boldsymbol{A\eta}=\boldsymbol{0}，代入条件得到\boldsymbol{\eta}等式判断是不是只有零解
    • 形如k\boldsymbol{E}-\boldsymbol{AB}的性质，可以从k是否为特征值的角度考虑
  5. 矩阵等式
    • (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{BA})\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{AB})\quad\quad\boldsymbol{A}(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{BA})=(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{AB})\boldsymbol{A}
    • 式子等于可逆矩阵，则因式都可逆
    • 两因式之积为纯量阵，交换因式位置得到新等式
    • 根据存在的逆矩阵，将单位阵拆解
    • 对得到的等式乘以矩阵从而再次利用条件
  6. 求\boldsymbol{A}^\ast \boldsymbol{x}=\boldsymbol{O}的通解
    • 若\boldsymbol{A}满秩，转化为求\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{O}的通解
    • 若\boldsymbol{A}不满秩，则\boldsymbol{A}^\ast\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}，\boldsymbol{A}列向量的极大线性无关组就是通解
  7. 向量组等价与矩阵等价
    • 向量组等价要求互相可以线性表示（张成空间相同），矩阵等价只要求秩相同（张成空间的维数相同）
    • 向量组等价，且向量个数维数相同\Rightarrow矩阵等价
  8. \boldsymbol A=\boldsymbol{E}+p\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}
    • 其的逆矩阵也为\boldsymbol{E}+q\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}的形式
    • 直接平方，带入原方程得到关于\boldsymbol A的等式
    • 直接得到特征值
  9. 注意根据零化多项式、外积矩阵等得到特征值
  10. 两个二次型合同则可以相互转化
  11. 矩阵正定则\boldsymbol{\eta}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{\eta}\gt 0，代入条件利用内积可交换性得到(\boldsymbol{C\eta})^T\boldsymbol{D\eta}\gt 0，从而\boldsymbol{C},\boldsymbol{D}可逆

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