高等数学

第一节 函数

函数的概念及常见函数

函数概念

1. 定义设$x$和$y$是两个变量, $D$是一个给定的数集.如果对于每个数$x \in D$,变量$y$按照一定的法则总有一个确定的数值$y$和它对应,则称$y$是$x$的函数,记为
   $$y={f(x)}, x \in D$$
   其中$x$称为自变量, $y$称为因变量, $D$称为函数的定义域,记作$D_f$,即$D_f=D$
2. 函数值${f(x)}$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域,记作$R_f$或${f(D)}$,即
   $$R_f={f(D)}=\{y \mid y={f(x)}, x \in D\}$$

复合函数

1. 定义设函数$y={f(u)}$的定义域为$D_f$,函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$,值域为$R_g$,若$D_f\cap R_g \neq \varnothing$,则称函数$y={f(g(x)})$为函数$y={f(u)}$与$u=g(x)$的复合函数。它的定义域为$\left\{x \mid x \in D_g, g(x) \in D_f\right\}$。

$f(g(x))$与$g(x)$具有相同的对称轴、周期

反函数

1. 定义设函数$y={f(x)}$的定义域为$D$,值域为$R_y$.若对任意$y \in R_y$,有唯一确定的$x \in D$,使得$y={f(x)}$,则记为$x=f^{-1}(y)$,称其为函数$y={f(x)}$的反函数。
2. $f^{-1}({f(x)})=x, f\left(f^{-1}(x)\right)=x$

初等函数

1. 基本初等函数
   • 幂函数$y=x^\mu \quad(\mu \text {为实数})$
   • 指数函数$y=a^x \quad(a>0, a \neq1)$
   • 对数函数$y=\log_a x \quad(a>0, a \neq1)$
   • 三角函数$y=\sin x, y=\cos x, y=\tan x, y=\cot x, y=\sec x, y=\csc x$
   • 反三角函数$y=\arcsin x, y=\arccos x, y=\arctan x$
2. 定义由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.

函数的性态

单调性

1. 定义
   • 设函数$y={f(x)}$在某区间$I$上有定义,如果对于区间$I$上的任意两点$x_1, x_2$,当$x_1\lt x_2$时,恒有$f\left(x_1\right)\lt f\left(x_2\right)$（或$f\left(x_1\right)\gt f\left(x_2\right)$），则称函数$y={f(x)}$在区间$I$上单调增加（或单调减少）
   • 如果对于区间$I$上的任意两点$x_1, x_2$,当$x_1\lt x_2$时,恒有$f\left(x_1\right) \le f\left(x_2\right)$（或$f\left(x_1\right) \ge f\left(x_2\right)$），则称函数$y={f(x)}$在区间$I$上单调不减（或单调不增）
2. 判定
   • 利用定义
   • 利用导数
     设$f(x)$在区间$I$上可导,则
     $f^{\prime}(x)\gt 0(\lt 0) \Rightarrow {f(x)}$单调增（单调减）
     $f^{\prime}(x) \ge 0(\le 0) \Leftrightarrow {f(x)}$单调不减（单调不增）

奇偶性

1. 定义
   • 设函数$y={f(x)}$的定义域$D$关于原点对称（即若$x \in D$,则有$-x \in D$）
   • 如果对于任一$x \in D$，恒有
     $${f(-x)}={f(x)}$$
     则称${f(x)}$为$D$上的偶函数
   • 如果恒有
     $${f(-x)}=-{f(x)}$$
     则称${f(x)}$为$D$上的奇函数
2. 判定
   • 设${f(x)}$可导,则
     ${f(x)}$是奇函数$\Rightarrow f^{\prime}(x)$是偶函数;
     ${f(x)}$是偶函数$\Rightarrow f^{\prime}(x)$是奇函数.
   • 设${f(x)}$连续,则
     ${f(x)}$是奇函数$\int_\alpha^x {f(t)} \mathrm d t$是偶函数;
     ${f(x)}$是偶函数$\int_0^x {f(t)} \mathrm d t$是奇函数.
3. 连续的奇函数其原函数都是偶函数；连续的偶函数其原函数中有且仅有一个是奇函数.
4. 奇函数${f(x)}$的图形关于原点对称，且若${f(x)}$在$x=0$处有定义，则$f(0)=0$；偶函数的图形关于$y$轴对称
5. 常见函数
   • 奇函数：$\sin x, \tan x, \arcsin x, \arctan x, \ln \frac{1-x}{1+x}, \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right), \frac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x+1}, {f(x)}-{f(-x)}$
   • 偶函数：$x^2,|x|, \cos x, {f(x)}+{f(-x)}$

周期性

1. 定义
   • 若存在实数$T>0$，对于任意$x$，恒有${f(x+T)}={f(x)}$，则称$y={f(x)}$为周期函数
   • 使得上述关系式成立的最小正数$T$称为${f(x)}$的最小正周期，简称为函数${f(x)}$的周期
2. 判定
   • 利用定义
   • 可导的周期函数其导函数为周期函数
   • 周期函数的原函数不一定是周期函数（如$1+\cos x$）
3. 设${f(x)}$连续且以$T$为周期，则
   • ${F(x)}=\int_0^x {f(t)} \mathrm{d} t$是以$T$为周期的周期函数$\Leftrightarrow \int_0^T {f(x)} \mathrm{d} x=0$
   • 周期函数的原函数是周期函数的充要条件是其在一个周期上的积分为零

有界性

1. 定义
   • 若$\exists M>0, \forall x \in I,|{f(x)}| \le M$,则称${f(x)}$在$I$上有界.
2. 判定
   • 利用定义
   • 取绝对值利用三角不等式和中值定理
   • ${f(x)}$在$[a, b]$上连续$\Rightarrow {f(x)}$在$[a, b]$上有界
   • ${f(x)}在(a, b)$上连续,且$f\left(a^{+}\right)$和$f\left(b^{-}\right)$存在$\Rightarrow {f(x)}$在$(a, b)$上有界
     $(a, b)$改为无穷区间$(-\infty, b),(a,+\infty),(-\infty,+\infty)$结论仍成立.
   • $f^{\prime}(x)$在有限区间$I$上有界$\Rightarrow {f(x)}$在$I$上有界

定义域为$x$的取值范围；$f(a),f(b)$说明$a,b$取值范围相同
例
已知$f(x+1)$的定义域为$[0, a](a\gt 0)$,则${f(x)}$的定义域为
$\therefore x+1\in [1,a+1]\rightarrow x\in [1,a+1]$

第二节 极限

极限的概念

数列极限

1. $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=a: \forall \varepsilon>0, \exists N(\varepsilon)>0$,当$n>N$时，有$\left|x_n-a\right|\lt\varepsilon$
   • $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=a$的几何意义: 对于$a$点的任何$\varepsilon$邻域即开区间$(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$，一定存在$N$，当$n>N$即第$N$项以后的点$x_n$都落在开区间$(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$内，而只有有限个(最多有$N$个）在这区间之外
   • 数列$\left\{x_n\right\}$的极限是否存在，如果存在柀限值等于多少，与数列的前有限项无关
2. 充要条件
   • $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=a \Leftrightarrow \lim_{k \rightarrow \infty} x_{2k-1}=\lim_{k \rightarrow \infty} x_{2k}=a$

函数极限

1. 自变量趋于无穷大时函数的极限
   • $\lim_{x \rightarrow+\infty} {f(x)}=A: \forall \varepsilon\gt 0, \exists X(\varepsilon)\gt 0$，当$x\gt X$时，有$|{f(x)}-A|\lt\varepsilon$
   • $\lim_{x \rightarrow-\infty} {f(x)}=A: \forall \varepsilon\gt 0, \exists X(\varepsilon)\gt 0$，当$x\lt -X$时，有$|{f(x)}-A|\lt\varepsilon$
   • $\lim_{x \rightarrow \infty} {f(x)}=A: \forall \varepsilon\gt 0, \exists X(\varepsilon)\gt 0$，当$|x|\gt X$时，有$|{f(x)}-A|\lt\varepsilon$
2. 充要条件
   • $\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}=A \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow x_0^-} {f(x)}=\lim_{x \rightarrow x_0^+} {f(x)}=A$
3. 自变量趋于有限值时函数的极限
   • 极限$\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}=A: \forall \varepsilon>0, \exists \delta(\varepsilon)>0$，当$0\lt\left|x-x_0\right|\lt\delta$时，有$|{f(x)}-A|\lt\varepsilon$
     函数${f(x)}$在点$x_0$处的极限是否存在、如果存在极限值等于多少，仅与${f(x)}$在$x_0$点的去心邻域$U\left(x_0, \delta\right)$内的函数值有关，而与${f(x)}$在$x_0$是否有定义、如果有定义函数值等于多少无关
   • 左极限：$\lim_{x \rightarrow x_0^{-}} {f(x)}=f\left(x_0^{-}\right)$
   • 右极限：$\lim_{x \rightarrow x_0^{+}} {f(x)}=f\left(x_0^{+}\right)$
   • $\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}=A \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow x_0^{+}} {f(x)}=\lim_{x \rightarrow x_0^{-}} {f(x)}=A$
4. 需要分左、右极限求极限的问题主要有三种:
   • 分段函数在分界点处的极限，而在该分界点两侧函数表达式不同（这里也包括带有绝对值的函数，如$\lim_{x \rightarrow0} \frac{|x|}{x}$）
   • $\mathrm{e}^{\infty}$型极限（如$\lim_{x \rightarrow0} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}, \lim_{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^x, \lim_{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{-x}$）
     $\lim_{x \rightarrow0^{-}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}=0, \lim_{x \rightarrow0^{+}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}=+\infty$，则$\lim_{x \rightarrow0} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$不存在
     $\lim_{x \rightarrow-\infty} \mathrm{e}^x=0, \lim_{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^x=+\infty$，则$\lim_{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^x$不存在
     $\mathrm{e}^{\infty} \neq \infty, \mathrm{e}^{+\infty}=+\infty, \mathrm{e}^{-\infty}=0$
   • $\arctan \infty$型极限（如$\operatorname{lim}_{x \rightarrow0}\arctan \frac{1}{x}, \lim_{x \rightarrow \infty} \arctan x$）
     $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi}{2}, \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$，$则\operatorname{lim}_{x \rightarrow0} \arctan \frac{1}{x}$不存在
     $\lim_{x \rightarrow-\infty} \arctan x=-\frac{\pi}{2}, \lim_{x \rightarrow+\infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}$，$\lim_{x \rightarrow \infty} \arctan x$不存在
     $\arctan \infty \neq \frac{\pi}{2}, \arctan (+\infty)=\frac{\pi}{2}, \arctan (-\infty)=-\frac{\pi}{2}$

1. 在函数极限中$x \rightarrow \infty$是指$|x| \rightarrow+\infty$，而在数列极限中，$n \rightarrow \infty$是指$n \rightarrow+\infty$
2. 常用技巧
   • 能拆为极限的和要先拆，分母分子有等价要先消
   • 复杂幂指函数取对数
   • 构造相同结构
3. 常见函数
   • $f(x)\overset{x_0}{\sim} g(x)$
     $$\begin{align} &\lim_{x \rightarrow x_0} a^{f(x)}-a^{g(x)}=\lim_{x \rightarrow x_0} a^{g(x)}\left[a^{f(x)-g(x)}-1\right]=a^{g(x_0)}\ln a\lim_{x \rightarrow x_0}\left[f(x)-g(x)\right] \\ &\lim_{x \rightarrow x_0} f^x(x)-g^x(x)=\lim_{x \rightarrow x_0} g^x(x)\left[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^x-1\right]=g^{x_0}(x_0)\lim_{x \rightarrow x_0} x\ln\frac{f(x)}{g(x)}=g^{x_0}(x_0)\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{x\left[f(x)-g(x)\right]}{g(x)} \end{align}$$
   • $f(x)\overset{+\infty}{\sim} g(x)$
     $$\begin{align} &\lim_{x \rightarrow \infty} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^x=e^{\lim_{x \rightarrow \infty} x\left[\frac{f(x)}{g(x)}-1\right]} \end{align}$$
   • $\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$
     $$\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)=\int \left[\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\right]^\prime \mathrm d x=\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm d x=\int 1-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{8}x^4+\cdots\mathrm d x=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^5+\cdots$$
4. 常用等价
   • 若$\alpha(x)\rightarrow 0,\alpha(x)\beta(x)\rightarrow 0$，则$(1+\alpha(x))^{\beta(x)}\sim 1+\alpha(x)\beta(x)$
   • 若$a(x)\sim c(x)\rightarrow 0,b(x)\sim d(x)\rightarrow 0$，则$\int_0^{c(x)}d(t)dt\sim\int_0^{a(x)}b(t)dt$

极限的性质

数列极限的性质

1. 收敛有界性
   • 若数列$\{a_n\}$收敛，则数列$\{a_n\}$有界，即$\exist M\gt 0,\left|a_n \right|\le M$
2. 保号性
   • 设$\lim_{n \rightarrow \infty} {a_n}=A$，则
     若$A>0$（或$A\lt 0$）$\Rightarrow \exists N\gt 0$，当$n\gt N$时，$a_n\gt 0$（或$a_n \lt 0$）
     若$\exists N\gt 0$，当$n\gt N$时，$a_n\ge 0$（或$a_n\le 0$）$\Rightarrow A\ge 0$（或$A\le 0$），注意$a_n$的不等式可以去掉等于号
   • 即$n$充分大时，极限值的正负性得到数列的正负性、数列的非正负性得到极限值的非正负性
3. 保序性
   • 若$\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=A,\lim_{n \rightarrow \infty}b_n=B$，则
     若$A\gt B$（或$A\lt B$）$\Rightarrow\exists N\gt 0$，当$n\gt N$时，$a_n\gt b_n$（或$a_n\lt b_n$）
     若$\exists N\gt 0$，当$n\gt N$时，$a_n \ge b_n$（或$a_n \le b_n$） $\Rightarrow A \ge B$（或$A\le B$），注意$a_n,b_n$的不等式可以去掉等于号
     若令$b_n\equiv B$为常数列，则得到强化版的保号性
   • 即$n$充分大时，极限之差的正负性得到数列之差的正负性、数列之差的非正负性得到极限之差的非正负性

函数极限的性质

1. 局部有界性
   • 若极限$\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}$存在，则${f(x)}$在点$x_0$某去心邻域内有界，但在$x_0$不一定有界
2. 保号性
   • 设$\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}=A$，则
     若$A>0$（或$A\lt 0$）$\Rightarrow \exists \delta\gt 0$，当$x \in \mathring{U} \left(x_0, \delta\right)$时，${f(x)}\gt 0$（或${f(x)}\lt 0$）
     若$\exists \delta\gt 0$，当$x \in \mathring{U} \left(x_0, \delta\right)$时，$f(x)\ge 0$（或$f(x)\le 0$）$\Rightarrow A\ge 0$（或$A\le 0$），注意$f(x)$的不等式可以去掉等于号
   • 即极限值的正负性得到在去心邻域的正负性、在去心邻域的非正负性得到极限值的非正负性
3. 保序性
   • 设$\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}=A, \lim_{x \rightarrow x_0} g(x)=B$则
     若$A\gt B$（或$A\lt B$）$\Rightarrow\exists \delta\gt 0$，当$x \in \mathring{U} \left(x_0, \delta\right)$时，$f(x)\gt g(x)$（或$f(x)\lt g(x)$）
     若$\exists \delta>0$，当$x \in\mathring{U} \left(x_0, \delta\right)$时，${f(x)} \ge g(x)$（或${f(x)} \le g(x)$） $\Rightarrow A \ge B$（或$A \le B$），注意$f(x),g(x)$的不等式可以去掉等于号
     若令$g(x)\equiv B$为常函数，则得到强化版的保号性
   • 即极限值之差的正负性得到在去心邻域之差的正负性、在去心邻域之差的非正负性得到极限值之差的非正负性
4. 极限值与无穷小之间的关系
   • $\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}=A \Leftrightarrow {f(x)}=A+\alpha(x)$，其中$\lim_{x \rightarrow x_0} \alpha(x)=0$
5. 将$x_0$换成$x_0^-,x_0^+,-\infty,+\infty$也成立，当为无穷时，去心邻域改成单区间

推论：设函数$f^{\prime}(x)$连续，$f^{\prime}(x_0)>0$，$则存在\delta>0$，当$x \in\left(x_0-\delta, x_0\right)$时， ${f(x)}\lt f\left(x_0\right)$；当$x \in\left(x_0, x_0+\delta\right)$时， ${f(x)}\gt f\left(x_0\right)$
$$\begin{align} 设&\quad g(x)=\frac{f(x_0+x)-f(x_0)}{x}\\ 则&\quad \lim_{x\rightarrow 0} g(x)=f'(x_0)>0\\ 由保号性&\quad \exist \delta\gt0,x\in\mathring{U} (0,\delta),g(x)\gt0\\ 若&\quad x\gt 0,则f(x_0+x)\gt f(x_0),x\in (0,\delta),即x \in\left(x_0, x_0+\delta\right)时{f(x)}\gt f\left(x_0\right)\\ 若&\quad x\lt 0,则f(x_0+x)\lt f(x_0),x\in (-\delta,0),即x \in\left(x_0-\delta, x_0\right)时{f(x)}\lt f\left(x_0\right)\\ \end{align}$$
这表明某一点导数对该点的去心邻域也有效。不过无法确定在去心邻域的单调性（可能是任何情况）

极限的运算

1. 四则运算
   • 若极限都存在，则可以先进行四则运算，再整体取极限
   • 当有的极限不存在时
     两个不存在极限的数列或函数$f,g$，它们的加减乘除都可能存在极限
     一个存在极限的数列或函数$f$与一个不存在极限的数列或函数$g$，它们的加减一定不存在极限，他们的乘积存在极限的必要条件是$f$的极限值为0
2. 幂指运算，若$\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=A,\lim_{x \rightarrow x_0}g(x)=B$，则
   • $A=0$，但$f(x)$在$x_0$的去心邻域恒大于0
     若$B\lt 0$，则$\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)^{g(x)}=+\infty$
     若$B= 0$，则$\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)^{g(x)}$未定
     若$B\gt 0$，则$\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)^{g(x)}=0$
   • $A=+\infty$
     若$B\lt 0$，则$\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)^{g(x)}=0$
     若$B= 0$，则$\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)^{g(x)}$未定
     若$B\gt 0$，则$\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)^{g(x)}=+\infty$
   • $A\gt0,A\ne1$
     则$\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)^{g(x)}=A^B$
3. 复合运算，若$f\left[g(x)\right]$在$x_0$的去心邻域有定义，$\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0,\lim_{x\rightarrow u_0}f(x)=A$，$\mathbf U$为$x_0$的去心邻域的集合
   • 若$\exist U\in\mathbf U\ \mathrm{ s.t. }\ \forall x\in U,g(x)\ne u_0$，（注意$u_0=\infty$时该条件恒成立）
     则$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left[g(x)\right]=A$
   • 若$\forall U\in\mathbf U\ \mathrm{ s.t. }\ \exist x\in U,g(x)= u_0$，则
     若$f(u_0)$无意义，则$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left[g(x)\right]$不存在
     若$f(x)$在$u_0$连续，则$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left[g(x)\right]=f(u_0)$
     若$f(x)$在$u_0$不连续，且$\exist U\in \mathbf U\ \mathrm{ s.t. }\ \forall x\in U,g(x)=u_0$，则$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left[g(x)\right]=f(u_0)$
     若$f(x)$在$u_0$不连续，且$\forall U\in \mathbf U\ \mathrm{ s.t. }\ \exist x\in U,g(x)\ne u_0$，则$\lim_{x\rightarrow x_0}f\left[g(x)\right]$不存在

极限存在准则

数列极限

1. 夹逼准则
   • 若$\exists N\gt 0$，当$n>N$时，$x_n \le y_n \le z_n$，且$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=\lim_{n \rightarrow \infty} z_n=A$，则$\lim_{n \rightarrow \infty} y_n=A$
2. 单调有界准则
   • 单调有界数列必有极限。即单调增、有上界的数列必有极限；单调减、有下界的数列必有极限

求$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n$

1. （单调有界准则）$a_{n+1}=f(a_n)$
   • 草稿纸上令$A=f(A)$，得到上（下）界
   • 数学归纳法，利用$a_1$和$A$的大小关系，证明$a_{n+1}=f(a_n)$同样满足该关系
   • 证明$f(x)-x$恒正负（如恒正），则$a_{n+1}=f(a_n)=\left[f(a_n)-a_n\right]+a_n\gt a_n$
   • 单调有界说明有极限，再根据$A=f(A)$以及$f(x)-x$单调，得到$a_n$的极限为$A$
   • 注：$f(x)$单调递增，则$a_n$单调性取决前两项；$f(x)$单调递减，则$a_n$不单调但$a_{2n},a_{2n+1}$都单调
   • 若：$A=f(A)$不止一个有意义解且$f(A)$单调递增（减），则极限一定是最大（小）的一个（利用数学归纳法证明）
2. （$a_{n}$不单调）$a_{n+1}=f(a_n)$
   • 草稿纸上令$A=f(A)$
   • 由$0\le\left|a_{n+1}-A\right|=\left|f(a_n)-A\right|\lt k\left|a_{n}-A\right|\lt k^2\left|a_{n-1}-A\right|\lt\cdots\lt k^n\left|a_2-A\right|$
   • 夹逼得到$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=A$
3. $f(a_{n+1})+g(a_n)\lt \left[f(x)+g(x)\right]_{min}$
   • 利用已知等式和最小值的性质
     $$\begin{cases}f(a_{n})+g(a_n)\ge \left[f(x)+g(x)\right]_{min} \\ f(a_{n+1})+g(a_n)\lt \left[f(x)+g(x)\right]_{min} \end{cases}\Rightarrow f(a_{n})\gt f(a_{n+1})$$
     结合$f(x)$根据单调性得到$a_n$单调性
   • 反证法证明$a_n$不可能无界
   • 两式取极限得到
     $$\begin{cases} f(A)+g(A)=\lim_{n\rightarrow\infty}f(a_{n})+g(a_n)\ge \left[f(x)+g(x)\right]_{min} \\ f(A)+g(A)=\lim_{n\rightarrow\infty}f(a_{n+1})+g(a_n)\le \left[f(x)+g(x)\right]_{min} \end{cases}\Rightarrow f(A)+g(A)=\left[f(x)+g(x)\right]_{min}$$
4. $f_n(a_n)=0$
   • 先证明$f_n(x)$的单调性（如单调递增）
   • 再证明$f_n(p_n)\lt0,f_n(q_n)\gt 0$
   • 则$p_n \lt a_n \lt q_n$，夹逼得到$a_n$的极限

函数极限

1. 夹逼准则
   • 若$\exists \delta>0$，当$x \in\mathring{U} \left(x_0, \delta\right)$时，$h(x)\le f(x) \le g(x)$，$\lim_{x \rightarrow x_0} {h(x)}=\lim_{x \rightarrow x_0} {g(x)}=A$，则$\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}=A$

无穷小

1. 无穷小的概念
   • 若${f(x)}$当$x \rightarrow x_0$（或$x \rightarrow \infty$）时的极限为零，则称${f(x)}$为$x \rightarrow x_0$（或$x \rightarrow \infty$）时的无穷小
2. 无穷小的比较
   设$\lim \alpha(x)=0, \lim \beta(x)=0$
   • 高阶：若$\lim \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=0$，记为$\beta(x)=o(\alpha(x))$
   • 同阶：若$\lim \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=C \neq0$
   • 等价：若$\lim \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=1$，记为$\alpha(x) \sim \beta(x)$
   • 无穷小的阶：若$\lim \frac{\beta(x)}{[\alpha(x)]^k}=C \neq0$，称$\beta(x)$是$\alpha(x)$的$k$阶无穷小
3. 无穷小的性质
   • 有限个无穷小的和仍是无穷小
   • 有限个无穷小的积仍是无穷小
   • 无穷小量与有界量的积仍是无穷小

若$x\rightarrow A$时$f(x)$是$F$阶无穷小、$g(x)$是$G$阶无穷小，则$\int_{0}^{f(x)}g(t)dt$是$F(G+1)$阶无穷小
$$\begin{align} \because\quad&\frac{d}{dx}\int_{0}^{f(x)}g(t)dt=g(f(x))f'(x)\sim\circ(x^{FG+F-1})\\ \therefore\quad&\int_{0}^{f(x)}g(t)dt\sim\circ(x^{FG+F}) \end{align}$$

无穷大

1. 无穷大的概念
   • 若$\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}=\infty$（或$\lim_{x \rightarrow \infty} {f(x)}=\infty$）则称${f(x)}$为$x \rightarrow x_0$（或$x \rightarrow \infty$）时的无穷大
2. 常用的一些无穷大的比较
   • 当$x \rightarrow+\infty$时，$\ln ^\alpha x \ll x^\beta \ll a^x$（其中$\alpha>0, \beta>0, a>1$）
   • 当$n \rightarrow \infty$时，$\ln ^\alpha n \ll n^\beta \ll a^n \ll n ! \ll n^n$（其中$\alpha>0, \beta>0, a>1$）
3. 无穷大与无界变量的关系 无穷大$\Rightarrow$无界变量
   • 数列$\left\{x_n\right\}$是无穷大量：$\forall M>0, \exists N$，当$n>N$时，恒有$\left|x_n\right|>M$
   • 数列$\left\{x_n\right\}$是无界变量：$\forall M>0, \exists N$，使$\left|x_N\right|>M$
   • 无穷大量一定是无界变量；但无界变量不一定是无穷大量
4. 无穷大与无穷小的关系
   • 在自变量的同一变化过程中，若${f(x)}$是无穷大，则$\frac{1}{{f(x)}}$是无穷小
   • 若${f(x)}$是无穷小，且${f(x)} \neq0$，则$\frac{1}{{f(x)}}$是无穷大

求$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=\phi(n)}^{\varphi(n)}f(n,k)$

1. 直接利用积分定义
   • 将$f(n,k)$化成$\frac{1}{n}g(\frac{k}{n})$的形式，则
     $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=\phi(n)}^{\varphi(n)}f(n,k)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int^{\frac{\varphi(n)}{n}}_{\frac{\phi(n)}{n}}g(x)\mathrm dx$$
2. 夹逼定理
   • 利用泰勒展开等方式，确定多项式函数$g_1(n,k),g_2(n,k)$，使得$g_1(n,k)\le f(n,k)\le g_2(n,k)$
   • 由于$g_1(n,k),g_2(n,k)$是关于$n,k$的多项式，因此可以逐一采取积分定义、直接求和等方式，确定部分和
   • 对部分和取极限消去$n$，得到最终结果

第三节 连续

连续的概念

1. 若$\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}=f\left(x_0\right)$（或$\lim_{\Delta x \rightarrow0} \Delta y=0$），则称${f(x)}$在$x_0$处连续
2. 左、右连续概念
   • 若$\lim_{x \rightarrow x_0^{-}} {f(x)}=f\left(x_0\right)$，则称${f(x)}$在$x_0$处左连续
   • 若$\lim_{x \rightarrow x_0^{+}} {f(x)}=f\left(x_0\right)$，则称${f(x)}$在$x_0$处右连续
3. 充要条件
   • ${f(x)}$在$x_0$连续$\Leftrightarrow {f(x)}$在$x_0$连续左连续且右连续
   • ${f(x)}$在$(a,b)$内连续$\Leftrightarrow {f(x)}$在$\forall x\in(a,b)$连续
   • ${f(x)}$在$[a,b]$内连续$\Leftrightarrow {f(x)}$在$(a,b)$内连续，在$a$右连续，在$b$左连续

间断点及其类型

1. 间断点的概念
   • 若${f(x)}$在$x_0$某去心邻域有定义，但在$x_0$处不连续，则称点$x=x_0$为函数${f(x)}$的间断点
2. 间断点的分类
   • 根据左、右极限是否都存在把间断点分为以下两类
   • 第一类间断点：左、右极限均存在的间断点
     可去间断点：左、右极限存在且相等的间断点;
     跳跃间断点：左、右极限都存在但不相等的间断点.
   • 第二类间断点：左、右极限中至少有一个不存在的间断点
     无穷间断点：左、右极限中至少有一个为无穷，如$x=0$为${f(x)}=\frac{1}{x}$的无穷间断点
     振落间断点：如$x=0$为${f(x)}=\sin \frac{1}{x}$的振荡间断点

若$f(x)$在区间$I$上处处可导，则其导函数$f^\prime(x)$在区间$I$上没有第一类间断点和无穷间断点

连续函数的性质

1. 连续函数的和.差、积、商(分母不为零)及复合仍连续
2. 基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续
3. $g(x_0)=u_0$，$g(x)$在$x_0$连续，$f(x)$在$u_0$连续，则$f\left[g(x)\right]$在$x_0$连续
4. 原函数在区间内连续且单调，则反函数在对应区间内连续且具有相同单调性
5. 闭区间上连续函数的性质
   • 有界性：若${f(x)}$在$[a, b]$上连续，则${f(x)}$在$[a, b]$上有界
   • 最值性：若${f(x)}$在$[a, b]$上连续，则${f(x)}$在$[a, b]$上必有最大值和最小值
   • 介值性：若${f(x)}$在$[a, b]$上连续，且${f(a)} \neq {f(b)}$，则对${f(a)}$与${f(b)}$之间任一数$C$，至少存在一个$\xi \in(a, b)$，使得${f(\xi)}=C$
     $\left[f(a)-C\right]\left[f(b)-C\right]\lt0\rightarrow \exist \xi\in(a,b),f(\xi)-C=0$
   • 推论若${f(x)}$在$[a, b]$上连续，则${f(x)}$在$[a, b]$可取到介于最小值$m$与最大值$M$之间的任何值.
6. 零点定理：若${f(x)}$在$[a, b]$连续，且${f(a)} \cdot {f(b)}\lt 0$，则必存在$\xi \in(a, b)$，使${f(\xi)}=0$

若函数连续且边界不是最值点，则存在$f^\prime(\xi)=0$

第四节 导数与微分

导数的概念

1. 导数定义
   • 设函数$y={f(x)}$在$x_0$的某邻域内有定义,如果极限$$\lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$存在，则称${f(x)}$在点$x_n$处可导，并称此极限值为${f(x)}$在点$x_0$处的导数，记为$f^{\prime}\left(x_0\right)$，或$y^{\prime}|_{x=x_0}$，或$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}|_{x=x_0}$。如果上述极限不存在，则称${f(x)}$在点$x_0$处不可导.
   • 常用的导数定义的等价形式有:$$f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{{f(x)}-f\left(x_0\right)}{x-x_0}, \quad f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim_{h \rightarrow0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$$
2. 左导数定义
   • 若左极限$$\lim_{\Delta x \rightarrow0^{-}} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow0^{-}} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim_{x \rightarrow x_0^{-}} \frac{{f(x)}-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$存在时，则称该极限值为${f(x)}$在点$x_0$处的左导数，记为$f^{\prime}\left(x_0\right)$
3. 右导数定义
   • 若右极限$$\lim_{\Delta x \rightarrow0^{+}} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow0^{+}} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim_{x \rightarrow x_0^{+}} \frac{{f(x)}-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$存在时，则称该极限值为${f(x)}$在点$x_0$处的右导数,记为$f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$
4. 可导的判断
   • 在一点可导$\Leftrightarrow$左、右导数都存在且相等
   • 在开区间可导$\Leftrightarrow$在开区间内每一点都可导
   • 在闭区间可导$\Leftrightarrow$在开区间内每一点都可导，并且在左端点右可导、右端点左可导
5. 导数性质
   • 奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数
   • 导函数与原函数具有相同周期性

要求任何路径下$\Delta x$不能为0，所以$\Delta x$不能为$x^2\sin\frac{1}{x}$

微分概念

1. 若$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=A \Delta x+o(\Delta x)$，其中$A$为不依赖于$\Delta x$的常数，则称函数${f(x)}$在点$x_0$处可微，称$A \Delta x$为函数${f(x)}$在点$x_0$处相应于自变量增量$\Delta x$的微分，记为$\mathrm{d} y=A \Delta x$
2. 定理函数$y={f(x)}$在点$x_0$处可微的充分必要条件是${f(x)}$在点$x_0$处可导，且有$$\mathrm{d} y=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x=f^{\prime}\left(x_0\right) \mathrm{d} x$$

导数与微分的几何意义

1. 导数$f^{\prime}\left(x_0\right)$在几何上表示曲线$y={f(x)}$在点$\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$处切线的斜率
2. 微分$\mathrm{d} y=f^{\prime}\left(x_0\right) \mathrm{d} x$在几何上表示曲线$y={f(x)}$的切线上的增量
3. $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$在几何上表示曲线$y={f(x)}$上的增量
   • $\Delta y = \mathrm{d} y + \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(\xi)(\Delta x)^2\quad\quad \xi\in(x_0,x_0+\Delta x)$

一元函数连续、可导、可微之间的关系

1. 点的
   • 存在：位于定义域内
   • 连续：点的邻域位于定义域内，且$\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}=f\left(x_0\right)$满足，表现为该点左右两侧没有跃变，即左右均连续。对于初等函数，处处连续
   • 左(右)可导：在左(右)连续的前提下，左(右)导数存在
   • 可导：在左右可导的前提下，左右导数相等。对于初等函数，处处可导
   • 导数存在：存在左导数或右导数，可见不一定连续。对于初等函数，处处导数存在
   • 可微：等价于可导。对于初等函数，处处可微
2. 函数的
   • 存在：所有点都存在。或在定义域内处处有值
   • 连续：所有点都连续。或函数存在的前提下，在定义域内的值不发生突变
   • 可导：所有点都可导。或函数连续的前提下，与原函数定义域相同的导函数存在
     ${f(x)}$可导$\nrightarrow \lim_{x \rightarrow x_0} f^{\prime}(x)$存在，因为函数存在不能得出点连续
     ${f(x)}$可导$\nrightarrow f^{\prime}(x)$连续，因为函数存在不能得到函数连续
   • 可微：所有点都可微。等价于函数可导

求导公式

1. $(C)^{\prime}=0$
2. $\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha x^{\sigma-1}$
3. $\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a$
4. $\left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x$
5. $\left(\log_a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$
6. $(\ln |x|)^{\prime}=\frac{1}{x}$
7. $(\sin x)^{\prime}=\cos x$
8. $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$
9. $(\tan x)^{\prime}=\sec ^2x$
10. $(\cot x)^{\prime}=-\csc ^2x$
11. $(\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x$
12. $(\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x$
13. $(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
14. $(\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
15. $(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}$
16. $(\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^2}$

求导法则

1. 有理运算法则
   • 设$u=u(x), v=v(x)$在$x$处可导，则
   • $(u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime}$
   • $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$
   • $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^2}(v \neq0)$
   • 注意原函数的部分可能存在不可导点（如$\sqrt[3]{x^2}\sin x$的$\sqrt[3]{x^2}$在$x=0$不可导），导致复合后的导数存在无定义点，需要用定义确定无定义点的导数
2. 复合函数求导法
   • 设$u=\varphi(x)$在$x$处可导，$y={f(u)}$在对应点处可导，则复合函数$y={f(\varphi(x)})$在$x$处可导,且$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=f^{\prime}(u) \varphi^{\prime}(x)$$
3. 隐函数求导法
   • 设$y=y(x)$是由方程${F(x, y)}=0$所确定的可导函数，为求得$y^{\prime}$，可在方程${F(x, y)}=0$两边对$x$求导，可得到一个含有$y^{\prime}$的方程，从中解出$y^{\prime}$即可
   • 注$y^{\prime}$也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_x^{\prime}}{F_y^{\prime}}$得到
4. 反函数的导数
   • 若$x=\varphi(y)$在某区间内单调、可导，且$\varphi^{\prime}(y) \neq0$，则其反函数$y={f(x)}$在对应区间内也可导，且$$f^{\prime}(x)=\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)} \text {或} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}}$$
   • 求反函数$n$阶导
     $$\begin{align} &\frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm d y^2}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm d y}\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left(\frac{\mathrm d x}{\mathrm d y}\right)=\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)}\left[\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)}\right]^\prime \\ &\frac{\mathrm d^3 x}{\mathrm d y^3}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm d y}\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left(\frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm d y^2}\right)=\frac{1}{\varphi^\prime(y)}\left[\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)}\left[\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)}\right]^\prime\right]^\prime \end{align}$$
5. 对数求导法
   • 如果$y=y(x)$的表达式由多个因式的乘除、乘幕构成，或是幕指函数的形式,则可先将函数取对数,然后两边对$x$求导.
     

     $$\begin{align} &f(x)=k\prod_i [g_i(x)]^{\alpha_i(x)},则费曼和为\mathcal{F}(f(x))=\sum(\alpha_i^\prime(x)\ln g_i(x) +\alpha_i(x)\frac{g_i^\prime(x)}{g_i(x)}) \\ &[f(x)]^\prime = f(x)\mathcal{F}(f(x)) \\ &[\ln f(x)]^\prime = \mathcal{F}(f(x)) \\ &[e^{f(x)}]^\prime = f(x)e^{f(x)}\mathcal{F}(f(x)) \end{align}$$

6. 高阶导数
   • 定义$f^{(n)}\left(x_0\right)=\lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{f^{(n-1)}\left(x_0+\Delta x\right)-f^{(n-1)}\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}\left(x_0\right)}{x-x_0}$
   • 常用公式
     $$\begin{align} &\left(e^{ax+b}\right)^{(n)}=a^ne^{ax+b} \\ &\left[\sin \left(ax+b\right)\right]^{(n)}=a^n\sin \left(ax+b+\frac{n \pi}{2}\right) \\ &\left[\cos \left(ax+b\right)\right]^{(n)}=a^n\cos \left(ax+b+\frac{n \pi}{2}\right) \\ &\left[\left(ax+b\right)^\beta\right]^{(n)}=\frac{\beta!}{(\beta-n)!}a^n\left(ax+b\right)^{\beta-n} \\ &\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^na^nn!}{(ax+b)^{n+1}} \\ &\left[\ln\left(ax+b\right)\right]^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}a^n(n-1)!}{(ax+b)^n} \\ &(u \pm v)^{(n)}=u^{(n)} \pm v^{(n)} \\ &(u v)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k u^{(k)} v^{(n-k)} \end{align}$$
   • 分解法
     $$\begin{align} &\frac{x^n}{1-x}=\frac{1}{1-x}-(1+x+\cdots+x^{n-1}) \\ &\sin^3 x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\sin x=\frac{1}{2}\sin x-\frac{1}{2}\sin x\cos 2x=\frac{1}{2}\sin x-\frac{1}{4}(\sin 3x-\sin x) \end{align}$$
   • 利用泰勒公式对比抽象展开和具体展开的系数，从而解出$n$阶导
   • $f(x)=(x-a)^n\varphi(x),f^{(n)}(a)=n!\varphi(a)$，只需要$\varphi(x)$满足$n-1$阶可导
   • 构造导数与多项式的乘积，然后利用莱布尼茨公式
     $f(x)=\arctan x$，则$\left(1+x^2 \right)f^\prime(x)=1$
     $f(x)=\arcsin x$，则$\sqrt{1-x^2}f^\prime(x)=1$，从而$\frac{(1-x^2)f^{\prime\prime}(x)-xf^\prime(x)}{\sqrt{1-x^2}}=0$
7. 含有绝对值的函数的导数
   • $\left[\ln\left|f(x)\right|\right]^\prime=\mathcal{F}(f(x))\quad\quad(x\ne0)$
   • $\left[f(\left|g\left(x\right)\right|)\right]^\prime=\left[f(\sqrt{g^2\left(x\right)})\right]^\prime$

$$\begin{align} &\frac{d}{d x} \int_{\phi(x)}^{\varphi(x)} {f(t)} \mathrm d t=f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x)-f(\phi(x)) \phi^{\prime}(x)\\ &\frac{d}{d x} \int_{\phi(x)}^{\varphi(x)} {g(x)f(t)}\mathrm d t=g^{\prime}(x)\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)} {f(t)} \mathrm d t+g(x) [f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x)-f(\phi(x)) \phi^{\prime}(x)]\\ &\frac{d}{d x} \int_{\phi(x)}^{\varphi(x)} {f(t,x)}\mathrm d t\Rightarrow\text{换元分离}x,t；\text{或凑成}A(B(x,t))dA(B(x,t)) \end{align}$$

第五节 导数应用

微分中值定理

1. 罗尔定理
   • 设${f(x)}$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导，且${f(a)}={f(b)}$，那么至少存在一个$\xi \in(a, b)$，使$f^{\prime}(\xi)=0$
   • 若函数在$[a,b]$连续，且在$a,b$不为最大值最小值，则一定存在$\xi\in(a,b)$使得$f^\prime(\xi)=0$
   • 若$f^{(n)}\ne 0$，则$f(x)$至多$n$个零点
2. 拉格朗日定理
   • 设${f(x)}$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导，那么至少存在一个$\xi \in(a, b)$，使$\frac{{f(b)}-{f(a)}}{b-a}=f^{\prime}(\xi)$
3. 柯西定理
   • 设${f(x)}, g(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导，且$g^{\prime}(x) \neq0$，那么至少存在一个$\xi \in(a, b)$，使$\frac{{f(b)}-{f(a)}}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}$
4. 泰勒定理（拉格朗日余项）
   • 设${f(x)}$在区间$I$上$n+1$阶可导，$x_0\in I$，那么$\forall x \in I$，至少存在一个$\xi$使得$${f(x)}=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2!}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n+R_n(x)$$其中$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1}$，$\xi$在$x_0$与$x$之间.
     
5. 介值定理
   • $\sum_i a_i f\left(x_i\right)={f(\xi)} \sum_i a_i, \xi \in\left(\max x_i, \min x_i\right)$
6. 达布定理
   • 设${f(x)}$在区间$I$可导，对于$a,b\in I$，有$f^\prime(a)\lt \eta\lt f^\prime(b)$，则存在$\xi\in (a,b)$，满足$f^\prime(\xi)=\eta$
     $$\begin{align} \because\quad&g(x)={f(x)}-\eta x \\ \therefore\quad& g^{\prime}(a)=\lim_{x \rightarrow a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)-\eta\lt0 \\ & g^{\prime}(b)=\lim_{x \rightarrow b} \frac{g(x)-g(b)}{x-b}=f^{\prime}(b)-\eta\gt0 \\ \because\quad&\exists \delta_1\gt 0, \forall x \in\left(a, a+\delta_1\right),\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\lt0,即 g(x)\lt g(a) \\ &\exists \delta_2\gt 0, \forall x \in\left(b-\delta_2, b\right),\frac{g(x)-g(b)}{x-b}>0 ，即g(x)\lt g(b) \\ \because\quad&g(x)在[a,b]连续，存在最小值且不为端点 \\ \therefore\quad&\exist\xi\in(a,b),g^\prime(\xi)=f^\prime(\xi)-\eta=0 \end{align}$$
   • 可得在原函数定义域内，若导函数无零点，则导函数恒正或恒负，即原函数严格单调
   • 可得在原函数定义域内，导函数不存在第一类间断点和无穷间断点

常用技巧

1. 难以找到$f(x)$有$n$个零点时，令$F(x)=\int_0^xf(x)\mathrm{d} x$，证明$F(x)$有$n+1$个零点
2. 画图分析极值情况，使用费马定理得到隐藏的0值
3. 缺少零点条件时，对无效条件分类讨论等于零与不等于零的情况
4. 注意证明分母不等于0
5. 构造导数时可以增减常数项
6. 微分方程构造辅助函数
   • 对于$f^{\prime}(\xi)+g(\xi){f(\xi)} = h(\xi)$，构造${F(x)}={f(x)} e^{\int g(x) \mathrm d x} - \int h(x) e^{\int g(x) \mathrm d x} \mathrm d x$，证明$F^\prime(\xi)=0$
     如果出现抽象函数，将不定积分换成变上限积分，根据条件确定下限从而产生零点
   • 对于$f^{\prime\prime}(\xi)+f(\xi)=0$，构造$F(x)=[f^\prime(x)]^2+f^2(x)$
   • 利用$\left[\ln f(x)\right]^\prime=\frac{f^\prime(x)}{f(x)}$构造时，对构造结果取指数而不是直接用
7. 伪双中值
   • 令$\xi+\eta=a+b$，从而消去一个变量
   • 分离变量到等号两边，对复杂项用柯西中值定理，然后代入条件
8. 构造的$F(x)$在端点无定义时，用极限值补充定义，使得$F(x)$在闭区间连续可导

构造辅助多项式

1. $f^{(n)}(\xi)=A$
   • 构造$n$次多项式$g(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$
   • 令$g(x)$满足$f(x)$的全部条件，解出$a_i$
   • 令$F(x)=f(x)-g(x)$，可以证明$F()x$有$n$个零点
   • $A$等于$g(x)$最高次项的$n$阶导

多中值

1. 用拉格朗日将中值还原，观察结构得到需要证明的等式
   • ${f(x)}在[0,1]连续,{f(0)}=0,{f(1)}=1，证明f^{\prime}(\xi) \cdot f^{\prime}(\eta)=1$
     $$\begin{align} 原式&\Rightarrow \frac{{f(c)}-{f(0)}}{c-0} \\ &\Rightarrow f(c)=1-c \end{align}$$
   • ${f(x)}在[0,1]连续,{f(0)}=0,{f(1)}=1，证明\frac{\lambda_1}{f^{\prime}\left(\xi_1\right)}+\frac{\lambda_2}{f^{\prime}\left(\xi_2\right)}+\cdots+\frac{\lambda_n}{f^{\prime}\left(\xi_n\right)}=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$
     $$\begin{align} 原式&\Rightarrow \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\cdots+\lambda_n}\frac{x_1-0}{f(x_1)-0}+\cdots+\frac{\lambda_n}{\lambda_1+\cdots+\lambda_n}\frac{1-x_{n-1}}{1-f(x_{n-1})}=1 \\ &\Rightarrow \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\cdots+\lambda_n}\frac{1}{f(x_1)-0}=\cdots=\frac{\lambda_n}{\lambda_1+\cdots+\lambda_n}\frac{1}{1-f(x_{n-1})}=1 \\ &\Rightarrow f(x_i)=\frac{\lambda_1+\cdots+\lambda_i}{\lambda_1+\cdots+\lambda_n} \end{align}$$
   • ${f(x)}在[0,1]连续,{f(0)}=0,{f(1)}=\frac{1}{4}，证明f^{\prime}(\xi)+f^{\prime}(\eta)=\eta-\xi$
     $$\begin{align} 原式&\Rightarrow \left[f^{\prime}(\xi)+\xi\right]+\left[f^{\prime}(\eta)-\eta\right]=0 \\ &\Rightarrow \frac{\left[{f(c)}+\frac{c^2}{2}\right]-\left[{f(0)}+\frac{1}{2} \cdot0^2\right]}{c-0}+\frac{\left[{f(1)}-\frac{1^2}{2}\right]-\left[f\left(c\right)-\frac{c^2}{2}\right]}{1-c}=0 \\ &\Rightarrow\frac{{f(c)}+\frac{c^2}{2}}{c}+\frac{-{f(c)}+\frac{c^2}{2}-\frac{1}{4}}{1-c}=0 \\ &\Rightarrow c=\frac{1}{2} \end{align}$$
2. 中值也可能作为分段点
   • ${f(x)}在[0,1]连续,\int_0^1{f(x)} d x \neq0,证明\\\frac{\pi}{8} \int_0^1{f(x)} d x=\left[\frac{1}{1+\xi_1^2} \int_0^{\xi_1} {f(x)} d x+f\left(\xi_1\right) \arctan \xi_1\right] \xi_3=\left[\frac{1}{1+\xi_2^2} \int_0^{\xi_2} {f(x)} d x+f\left(\xi_2\right) \arctan \xi_2\right] \left(1-\xi_3\right)$
     $$\begin{align} \Rightarrow&F(x)=\arctan x \int_0^x {f(t)} \mathrm d t,\quad F(0)=0,\quad F(1)=\frac{\pi}{4}\int_0^1{f(x)} d x \\ &\frac{1}{2} {F(1)}=F^{\prime}\left(\xi_1\right) \xi_3=F^{\prime}\left(\xi_2\right) \cdot\left(1-\xi_3\right) \\ \Rightarrow&\frac{1}{2} {F(1)}=\frac{F\left(\xi_3\right)-{F(0)}}{\xi_3-0} \xi_3=\frac{{F(1)}-F\left(\xi_3\right)}{1-\xi_3} \left(1-\xi_3\right) \\ \Rightarrow&\frac{1}{2} {F(1)}=F\left(\xi_3\right)-{F(0)}={F(1)}-F\left(\xi_3\right) \\ \Rightarrow& F\left(\xi_3\right)=\frac{1}{2} {F(1)} \end{align}$$
3. 中值也可能作为边界点
   • ${f(x)}在[0,1]可导,\int_0^1{f(x)} d x=3 \int_{\frac{2}{3}}^1{f(x)} d x,证明f^{\prime}(\xi)=g^{\prime}(\xi)[{f(\eta)}-{f(\xi)}]$
     $$\begin{align} &\int_0^1{f(x)} d x=3 \int_{\frac{2}{3}}^1{f(x)} d x \\ \Rightarrow& \int_0^{\frac{2}{3}}{f(x)} d x=2 \int_{\frac{2}{3}}^1{f(x)} d x \\ \Rightarrow& f(x_1)=f(x_2)=0\quad 0\lt x_1\lt \frac{2}{3}\lt x_2\lt 1 \\ &f^{\prime}(\xi)=g^{\prime}(\xi)[{f(\eta)}-{f(\xi)}] \\ \Rightarrow& f^{\prime}(\xi)+[{f(\xi)}-{f(\eta)}]g^{\prime}(\xi)=0 \\ \Rightarrow& F(x)=[{f(x)}-{f(x_1)}] e^{g(x)},F(x_1)=F(x_2)=0 \\ \Rightarrow& \frac{F^\prime(\xi)}{e^{g(\xi)}}=f^{\prime}(\xi)+[{f(\xi)}-{f(x_1)}]g^{\prime}(\xi)=0,\eta=x_1 \end{align}$$
4. 利用柯西还原
   • ${f(x)}在[a, b]可导,f^{\prime}(x) \neq0,{f(a)}=0, {f(b)}=2,证明f^{\prime}(\eta) \left[{f(\xi)}+\xi f^{\prime}(\xi)\right]=f^{\prime}(\xi) \left[b f^{\prime}(\eta)-1\right]$
     $$\begin{align} 原式&\Rightarrow \frac{{f(\xi)}+\xi f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\xi)}=\frac{b f^{\prime}(\eta)-1}{f^{\prime}(\eta)} \\ &\Rightarrow \frac{c {f(c)}-a {f(a)}}{{f(c)}-{f(a)}}=\frac{[b {f(b)}-b]-[b {f(c)}-c]}{{f(b)}-{f(c)} } \\ &\Rightarrow c=\frac{b[1-{f(c)}]+c}{2-{f(c)}} \\ &\Rightarrow f(c)=1 \end{align}$$
5. 出现$f^\prime(\xi)(b-a)$时先还原拉格朗日消去一个中值
   • ${f(x)}在[a,b]可导,证明f^{\prime}(\xi)=\eta f^{\prime}(\eta)\frac{\ln\left(b/a\right)}{b-a}$
     $$\begin{align} 原式&\Leftrightarrow f^{\prime}(\xi)(b-a)=\eta f^{\prime}(\eta)\ln\left(b/a\right) \\ &\Leftrightarrow \frac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}=\frac{f^{\prime}(\eta)}{\frac{1}{\eta}} \end{align}$$

中值$\theta$的极限

1. 重新展开，对比两式建立等式，分离$\theta$，求$\theta$极限
   • ${f(x)}二阶导函数连续,f^{\prime \prime}(x) \neq0,{f(x+h)}-{f(x)}=f^{\prime}(x+\theta h)h,证明\lim_{h \rightarrow0} \theta=\frac{1}{2}$
     $$\begin{align} &\left\{\begin{array}{l}{f(x+h)}={f(x)}+f^{\prime}(x+\theta h) h \\ {f(x+h)}={f(x)}+f^{\prime}(x) h+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2!} h^2\quad\quad (x\lt\xi\lt x+h) \end{array}\right. \\ \Rightarrow &f^{\prime}(x+\theta h)-f^{\prime}(x)= \frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2!} h \\ \Rightarrow &\theta h f^{\prime \prime}(\eta)=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2} h \quad\quad (x\lt\eta\lt x+\theta h) \\ \Rightarrow& \lim_{h \rightarrow0} \theta=\lim_{h \rightarrow0}\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2f^{\prime \prime}(\eta)}=\frac{1}{2} \end{align}$$
   • ${f(x)}具有n+1阶连续导数,{f(a+h)}={f(a)}+f^{\prime}(a) h+\cdots+\frac{f^{(n)}{(n+\theta h)}}{n !} h^n,且f^{(n+1)}(a) \neq0,证明\lim_{h \rightarrow0} \theta=\frac{1}{n+1}$
     $$\begin{align} &\left\{\begin{array}{l}{f(a+h)}={f(a)}+f^{\prime}(a) h+\cdots+\frac{f^{(n)}{(a+\theta h)}}{n !} h^n\\{f(a+h)}={f(a)}+f^{\prime}(a) h+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !} h^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} h^{n+1}\quad\quad (a\lt\xi\lt a+h) \end{array}\right. \\ \Rightarrow &f^{(n)}{(a+\theta h)}-f^{(n)}(a) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) } h \\ \Rightarrow &\theta h f^{(n+1)}(\eta)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n+1} h \quad\quad (a\lt\eta\lt a+\theta h) \\ {\Rightarrow}& h\rightarrow 0, \theta f^{(n+1)}(a)=\frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1} \end{align}$$
   • ${f(x)}具有n阶连续导数,f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=\cdots=f^{(n-1)}\left(x_0\right)=0,f^{(n)}\left(x_0\right) \neq0,且f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0+\theta h\right) h,证明\lim_{h \rightarrow0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n-1]{n}}$
     $$\begin{align} &\left\{\begin{array}{l}f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0+\theta h\right) h \\ {f(x_0+h)}={f(x_0)}+f^{\prime}(x_0) h +\frac{f^{(n)}(\xi)}{(n) !} h^n\quad\quad (x_0\lt\xi\lt x_0+h)\\ f^{\prime}\left(x_0+\theta h\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)+\frac{f^{(n)}(\eta)}{(n-1) !}(\theta h)^{n-1} h^n\quad\quad (x_0\lt\eta\lt x_0+\theta h)\end{array}\right. \\ \Rightarrow &f^{\prime}(x_0+\theta h)-f^{\prime}(x_0)= \frac{f^{(n)}(\xi)}{(n) !} h^{n-1} = \frac{f^{(n)}(\eta)}{(n-1) !}(\theta h)^{n-1} \\ {\Rightarrow}& h\rightarrow , \theta^{n-1}f^{(n)}(x_0)=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n} \end{align}$$

极值与最值

1. 极值的概念
   • 设$y={f(x)}$在点$x_0$的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何$x$，恒有${f(x)} \le f\left(x_0\right)$（或${f(x)} \ge f\left(x_0\right)$），则称$x_0$为${f(x)}$的一个极大值点(或极小值点)，称$f\left(x_0\right)$为${f(x)}$的极大值(或极小值)。极大(小)值统称为极值,极大(小)值点统称为极值点
   • 函数在区间$[a, b]$上的极值只能在开区间$(a, b)$上取得；端点$x=a, x=b$处不可能取得极值.
   • 若函数在闭区间$[a, b]$上的最大值(或最小值)在开区间$(a, b)$上某点取得,那么,函数在该点处必取得极大值(或极小值).
   • 极值点不要求连续，不要求可导
     

     根据图像判断极值点

     1. 对于原函数$f(x)$，考察原函数定义域内$f(x)$的有定义点，如果邻域函数值均小于该点函数值则为极值点
     2. 对于一阶导$f^\prime(x)$，考察原函数定义域内$f^\prime(x)$的零点、间断点，如果两侧的正负性不同则为极值点

2. 一阶可导时，极值的必要条件
   • $x_0$为${f(x)}$的极值点，则$f^{\prime}\left(x_0\right)=0$
   • 通常把导数为零的点称为函数的驻点。由极值的必要性可知，对可导函数而言，极值只可能在驻点上取得，极值点必为驻点，但驻点并不一定是极值点。而对一般函数而言，极值只可能在两种点上取得，这两种点是驻点和导数不存在的点，而要判断在这两种点上是否一定取得极值需利用下列充分条件
3. 极值的充分条件
   • 第一充分条件
     设$f^{\prime}\left(x_0\right)=0$（或${f(x)}$在$x_0$处连续），且在$x_0$的某去心邻域$U\left(x_0, \delta\right)$内可导
     若$x \in\left(x_0-\delta, x_0\right)$时，$f^{\prime}(x)>0$，而$x \in\left(x_0, x_0+\delta\right)$时，$f^{\prime}(x)\lt 0$，则${f(x)}$在$x_0$处取得极大值
     若$x \in\left(x_0-\delta, x_0\right)$时，$f^{\prime}(x)\lt 0$，而$x \in\left(x_0, x_0+\delta\right)$时，$f^{\prime}(x)>0$，则${f(x)}$在$x_0$处取得极小值
     若$x \in \mathring{U} \left(x_0, \delta\right)$时，$f^{\prime}(x)$的符号保持不变，则${f(x)}$在$x_0$处没有极值
   • 第二充分条件
     若$f^{\prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_0\right) \neq0$，则${f(x)}$在$x_0$处取得极值，其中当$f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0$时取得极小值，当$f^{\prime \prime}\left(x_0\right)\lt 0$时取得极大值
   • 第三充分条件
     若$f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=\cdots=f^{(n-1)}\left(x_0\right)=0, f^{(n)}\left(x_0\right) \neq0$，则
     当$n$为偶数时，${f(x)}$在$x_0$处有极值，其中$f^{(n)}\left(x_0\right)>0$时取得极小值，$f^{(n)}\left(x_0\right)\lt 0$时取得极大值;
     当$n$为奇数时，${f(x)}$在$x_0$处无极值
4. 函数的最值
   连续函数${f(x)}$在$[a, b]$上的最值的求法
   • 第一步:求出${f(x)}$在开区间$(a, b)$内的驻点和不可导的点$x_1, x_2, \cdots, x_n$
   • 第二步:求出${f(x)}$在点$x_1, x_2, \cdots, x_n$和区间端点$a, b$处的函数值$f\left(x_1\right), f\left(x_2\right), \cdots, f\left(x_n\right)$,${f(a)}, {f(b)}$
   • 第三步:比较以上各点函数值,其中最大的即为${f(x)}$在$[a, b]$上的最大值，最小的即为${f(x)}$在$[a, b]$上的最小值
   • 当闭区间$[a, b]$上的连续函数${f(x)}$在$(a, b)$内仪有唯一极值点，若在该点${f(x)}$取得极大值(或极小值)，则它也是${f(x)}$在$[a, b]$上的最大值(或最小值).

曲线的凹向与拐点

1. 曲线的凹向
   • 设${f(x)}$在区间$I$上连续，如果对$I$上任意两点$x_1, x_2$，恒有
     $$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\lt\frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}$$
     则称${f(x)}$在$I$上的图形是凹的；如果恒有
     $$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\gt\frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}$$
     则称${f(x)}$在$I$上的图形是凸的.
   • 若在区间$I$上$f^{\prime \prime}(x)>0(\lt 0)$，则曲线$y={f(x)}$在$I$上是凹(凸)的
   • 拐点只要求连续，不要求该点可导
     

     凹凸性的性质

     1. $f(a)\le0,f^\prime(a)\lt 0,f^{\prime\prime}(a)\gt 0$，则$f(x)$在$(a,+\infty)$有一个零点
        $$\begin{align} &f^\prime (a)=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(a+x)-f(a)}{x}\lt0\Rightarrow\exist \delta\gt0,x_0\in(a,a+\delta),f(x_0)\lt f(a)\le0 \\ &f^\prime(x)=f^\prime(a)+f^{\prime\prime}(\eta)(x-a)\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty}f^\prime(x)=+\infty \\ &f(x)=f(a)+f^\prime(\xi)(x-a)\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty \\ &\exist x_1\gt x_0,f(x_1)\gt0,\exist x_3\in(x_0,x_1),f(x)=0 \end{align}$$
     2. $f^{\prime\prime}(x)\ge 0(\le 0),f(a)=f(b)=0\Rightarrow f(x)\le 0(\ge 0)$

2. 曲线的拐点
   • 如果连续曲线$y={f(x)}$在点$\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$邻近两侧凹凸性相反，则称点$\left(x_0\,f\left(x_0\right)\right)$为曲线$y={f(x)}$的拐点
   • 二阶导可导时，拐点的必要条件：点$\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$为曲线$y={f(x)}$的拐点，则$f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0$
   • 第一充分条件：设$y={f(x)}$在点$x_0$的某去心邻域内二阶可导，且$f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0$（或${f(x)}$在$x_0$处连续）
     若$f^{\prime \prime}(x)$在$x_0$的左、右两侧异号，则点$\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$是曲线$y={f(x)}$的拐点
     若$f^{\prime \prime}(x)$在$x_0$的左、右两侧同号，则点$\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$不是曲线$y={f(x)}$的拐点
   • 第二充分条件：设$y={f(x)}$在点$x_0$处三阶可导，且$f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0$
     若$f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right) \neq0$，则点$\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$是曲线$y={f(x)}$的拐点;
     若$f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)=0$，则此方法不能判定$\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$是否为曲线$y={f(x)}$的拐点.
   • 第三充分条件：若$f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)=\cdots=f^{(n-1)}\left(x_0\right)=0$，但$f^{(n)}\left(x_0\right) \neq0(n \ge 3)$，则当$n$为奇数时，点$\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$是曲线$y={f(x)}$的拐点，当$n$为偶数时，点$\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$不是曲线$y={f(x)}$的拐点
   • 将极值点的必要条件和充分条件中的导数阶数提高一阶便是拐点的一个必要条件和三个充分条件.
     

     根据图像判断拐点

     1. 对于原函数$f(x)$，考察原函数定义域内$f(x)$的连续点，如果两侧的凹凸性不同则为拐点
     2. 对于一阶导$f^\prime(x)$，考察原函数定义域内$f^\prime(x)$的水平点、间断点，如果两侧的增减性不同则为拐点
     3. 对于二阶导$f^{\prime\prime}(x)$，考察原函数定义域内$f^{\prime\prime}(x)$的零点、间断点，如果两侧的正负性不同则为拐点

曲线的渐近线

1. 水平渐近线
   • 若$\lim_{x \rightarrow \infty} {f(x)}=A$（或$\lim_{x \rightarrow-\infty} {f(x)}=A$，或$\lim_{x \rightarrow+\infty} {f(x)}=A$），那么$y=A$是$y={f(x)}$的水平渐近线.
2. 铅直渐近线
   • 若$\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}=\infty$（或$\lim_{x \rightarrow x_0^{-}} {f(x)}=\infty$，或$\lim_{x \rightarrow x_0^{+}} {f(x)}=\infty$），那么$x=x_0$是$y={f(x)}$的铅直渐近线.
3. 斜渐近线
   • 若$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{{f(x)}}{x}=a, \lim_{x \rightarrow \infty}({f(x)}-a x)=b$（或$x \rightarrow-\infty$或$x \rightarrow+\infty$），那么$y=a x+b$是$y={f(x)}$的斜渐近线.

$$\begin{align} &令g(t)=tf(\frac{1}{t}) \\ &则斜率为\lim_{t \rightarrow 0}g(t),\ 截距为\lim_{t \rightarrow 0}g^\prime(t) \end{align}$$

平面曲线的曲率（数学三不要求）

第六节 不定积分

两个基本概念

1. 原函数
   • 如果在区间$I$上$F^{\prime}(x)={f(x)}$或$\mathrm{d} {F(x)}={f(x)} \mathrm{d} x$处处成立，则称${F(x)}$为${f(x)}$在区间$I$上的原函数.
   • 如果${F(x)}$为${f(x)}$的一个原函数，那么${F(x)}+C$都是${f(x)}$的原函数，且是${f(x)}$的所有原函数.
2. 不定积分
   • 在区间$I$上，函数${f(x)}$带有任意常数的原函数称为${f(x)}$在区间$I$上的不定积分，记为$\int {f(x)} \mathrm{d} x$
   • 如果${F(x)}$是${f(x)}$在区间$I$上的一个原函数，那么${F(x)}+C$就是${f(x)}$的不定积分，即$$\int {f(x)} \mathrm{d} x={F(x)}+C$$

原函数的存在性

1. 若${f(x)}$在区间$I$上连续，则${f(x)}$在区间$I$上必有原函数.
2. 若${f(x)}$在区间$I$上有第一类间断点或者无穷间断点，则${f(x)}$在区间$I$上没有原函数.
3. 若${f(x)}$在区间$I$上有震荡间断点，则直接求不定积分看是否能解出，一般都是有原函数的

若存在原函数，则原函数一定可导、连续
原函数的求法：令函数在间断点连续，分段求导，令第一段的常数项为0，计算在间断点的极限，作为在间断点原函数，据此确定下一段的常数项，以此类推

不定积分的性质

1. $\left(\int {f(x)} \mathrm{d} x\right)^{\prime}={f(x)}, \quad \mathrm{d} \int {f(x)} \mathrm{d} x={f(x)} \mathrm{d} x$；
2. $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x={f(x)}+C, \quad \int \mathrm{d} {f(x)}={f(x)}+C$；
3. $\int k {f(x)} \mathrm{d} x=k \int {f(x)} \mathrm{d} x(k$为常数）；
4. $\int[{f(x)} \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int {f(x)} \mathrm{d} x \pm \int g(x) \mathrm{d} x$.

基本积分公式

1. $\int x^a \mathrm{~d} x=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C \quad(\alpha \neq-1)$；
2. $\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln |x|+C$；
3. $\int a^x \mathrm{~d} x=\frac{a^x}{\ln a}+C \quad(a\gt 0, a \neq1)$；
4. $\int \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^x+C$；
5. $\int \sin x \mathrm{~d} x=-\cos x+C$；
6. $\int \cos x \mathrm{~d} x=\sin x+C$；
7. $\int \tan x \mathrm{~d} x=-\ln\left|\cos x\right|+C$；
8. $\int \cot x \mathrm{~d} x=\ln\left|\sin x\right|+C$；
9. $\int \sec ^2x \mathrm{~d} x=\tan x+C$；
10. $\int \csc ^2x \mathrm{~d} x=-\cot x+C$；
11. $\int \sec x \tan x \mathrm{~d} x=\sec x+C$；
12. $\int \csc x \cot x \mathrm{~d} x=-\csc x+C$；
13. $\int \sec x \mathrm{~d} x=\ln |\sec x+\tan x|+C$；
14. $\int \csc x \mathrm{~d} x=-\ln |\csc x+\cot x|+C$；
15. $\int \arcsin x \mathrm{~d} x=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$；
16. $\int \arccos x \mathrm{~d} x=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$；
17. $\int \arctan x \mathrm{~d} x=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)+C$；
18. $\int \mathrm{arccot} x \mathrm{~d} x=x\mathrm{arccot} x+\frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)+C$；
19. $\int \mathrm{arcsec} x \mathrm{~d} x=x\mathrm{arcsec} x-\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)+C$；
20. $\int \mathrm{arccsc} x \mathrm{~d} x=x\mathrm{arccsc} x+\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)+C$；
21. $\int \frac{\mathrm{d} x}{a^2+x^2}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C$；
22. $\int \frac{\mathrm{d} x}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C$；
23. $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$；
24. $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$；
25. $\int \sin^{n}(ax+b) \mathrm d x=\frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}(ax+b) \mathrm d x - \frac{\left[\sin^{n}(ax+b)\right]^\prime}{(an)^2}$
26. $\int \cos^{n}(ax+b) \mathrm d x=\frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}(ax+b) \mathrm d x - \frac{\left[\cos^{n}(ax+b)\right]^\prime}{(an)^2}$

两种主要积分法

1. 换元法
   • 若$\int {f(u)} \mathrm{d} u={F(u)}+C$，且$\varphi(x)$可导，则$$\int {f(\varphi(x)}) \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int {f(\varphi(x)}) \mathrm{d} \varphi(x)={F(\varphi(x)})+C$$
   • 设函数$x=\varphi(t)$可导，且$\varphi^{\prime}(t) \neq0$，又设$\int {f(\varphi(t)}) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t={F(t)}+C$，则$$\int {f(x)} \mathrm{d} x=\int {f(\varphi(t)}) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t=F\left(\varphi^{-1}(x)\right)+C$$

1. 出现$\sqrt{一次函数},\sqrt\frac{一次函数}{一次函数},\sqrt{e^{a x}+b} \cdot \sqrt{\frac{e^{a x}+b}{e^{a x}-b}}$，直接令其为$t$，从而去掉根号。注意观察是求$\mathrm{d} t$还是直接分部积分
2. 对于整体根式可以先有理化分子；如果只有根式，用$x=t^n$换元消去根号
3. 如果只有指数函数，可以换元成有理函数再分析
4. 三角换元
   • 被积函数中含有$\sqrt{a^2-x^2}$时，令$x=a \sin t$，或$x=a \cos t$
   • 被积函数中含有$\sqrt{a^2+x^2}$时，令$x=a \tan t$
   • 被积函数中含有$\sqrt{x^2-a^2}$时，令$x=a \sec t$
   • 配方使得只有二次项和常数项
5. 对于复杂部分求导，看看结果是不是其它一部分，如果是就可以凑微分
   • 形如$xe^{f(x)}$，对其求导，然后凑微分
   • 提取使得分子出现$(1+f(x))^2$并对$f(x)$求导，然后凑微分
6. 特殊解法
   • 对于
     $$\int\frac{\mathrm{d} x}{(x+d)\sqrt{ax^2+bx+c}},\int\frac{\mathrm{d} x}{(x+d)^2\sqrt{ax^2+bx+c}}$$
     令$x+d=\frac{1}{t}$带入后可以化简

2. 分部积分法
   • 设$u(x), v(x)$有连续一阶导数，则$$\int u \mathrm{~d} v=u v-\int v \mathrm{~d} u$$
   • 分部积分法常用于被积函数为两类不同函数相乘的不定积分；
   • 分部积分法选择$u(x), v(x)$的原则是$\int v \mathrm{~d} u$比$\int u \mathrm{~d} v$好积，设$p_n(x)$是$n$次多项式，则
     形如$\int p_n(x) \mathrm{e}^{\alpha x} \mathrm{~d} x, \int p_n(x) \sin \alpha x \mathrm{~d} x, \int p_n(x) \cos \alpha x \mathrm{~d} x$的积分都是先把多项式以外的函数凑进微分号，然后分部积分；
     形如$\int p_n(x) \ln x \mathrm{~d} x, \int p_n(x) \arctan x \mathrm{~d} x, \int p_n(x) \arcsin x \mathrm{~d} x$的积分都是先把多项式函数凑进微分号，然后分部积分；
     形如$\int \mathrm{e}^{a x} \sin \beta x \mathrm{~d} x, \int \mathrm{e}^{{a x}} \cos \beta \mathrm{d} x$的积分可连续两次将指数函数凑进微分号分部积分还原，求得原不定积分.

1. 善于在分部积分时对微分加减常数，使得互换后的结果更简单
   • 如对于$\arctan x,\ln(1+x^2)$，通常考虑$\mathrm{d}(x^2+1)$
2. 对反幂三指，出现两项时，谁在后面就凑到微分，然后分部积分
   • 出现多项，可以先求两项的积分，再分部积分
3. 纯对数函数，直接分部积分
4. 三角函数乘指数函数，两次积分就会重现，注意每次都要对同类函数凑微分
5. 换元法+分部积分时，先换元
6. 分部积分对分母降阶
   • 想办法凑出分母部分的微分，然后分部积分，从而消去分母的一部分
   • 直接将分母分之一凑成微分
   • 强制凑微分，如$\frac{f^\prime(x)}{f^2(x)}\mathrm{d}x=-\mathrm{d}\frac{1}{f(x)}$：当分母是平方，上下同乘使得分子为分母的导数
7. 积分抵消
   • 通常包含指数项，原式可以化为$\int e^x[f(x)+f^\prime(x)]\mathrm{d} x$
   • 拆项，然后某一项的分部积分会和另一项抵消，或两项的分部积分会部分抵消
   • 对于分母是平方项的情况，一般是凑项然后拆成分母相差一阶的两个分式，然后对低阶的分部积分，最终消去高阶项
8. 连续凑微分，然后分部积分

三类常见可积函数积分

1. 有理函数积分
   $$\int R(x) \mathrm{d} x$$
   • 一般方法（部分分式法）；
   • 特殊方法（加项减项拆项或凑微分降幂）

1. 有理函数分为真分式和假分式，通过多项式除法总能将假分式拆成真分式的和，因此只需要考虑真分式的积分
2. 不停地将分母因式分解直到无法分解
3. 裂项
   • 分母含有$(x-a)^k$，则列项结果一定含有$\frac{A_1}{x-a}+\cdots\frac{A_k}{(x-a)^k}$
   • 分母含有$(x^2+px+q)^k$（由于已经分解干净，因此$p^2-4q\lt 0$），则列项结果一定含有$\frac{B_1x+C_1}{x^2+px+q}+\cdots\frac{B_kx+C_k}{(x^2+px+q)^k}$
4. 通分比较各次的系数，从而解出待定系数
5. 确定系数后，求解原来的裂项结果
   • 对于$\frac{A_k}{(x-a)^k}$求解很简单
   • 对于$\frac{B_kx+C_k}{(x^2+px+q)^k}$，一般只考$k=1,2$
     $$\begin{align} 由于& \int \frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^k} \mathrm{d} x =\frac{B}{2} \int \frac{\mathrm{d} (x^2+px+q)}{(x^2+px+q)^k} +(C-\frac{Bp}{2})\int\frac{\mathrm{d} (x+\frac{p}{2})}{[(x+\frac{p}{2})^2+q-\frac{p^2}{4}]^k} \\ 只需计算&\int\frac{\mathrm{d} x}{(x^2+p)^k} \\ 由于&\int\frac{\mathrm{d} x}{(x^2+p)^k} \\ &=\frac{1}{p}\int\frac{x^2+p-x^2}{(x^2+p)^k}\mathrm{d} x \\ &=\frac{1}{p}[\int\frac{\mathrm{d} x}{(x^2+p)^{k-1}}-\frac{1}{2}\int\frac{x}{(x^2+p)^k}\mathrm{d} (x^2+p)] \\ &=\frac{1}{p}\int\frac{\mathrm{d} x}{(x^2+p)^{k-1}}+\frac{1}{2p(k-1)}[\int x\mathrm{d} (\frac{1}{(x^2+p)^{k-1}})] \\ &=\frac{2k-1}{2p(k-1)}\int\frac{\mathrm{d} x}{(x^2+p)^{k-1}}+\frac{1}{2p(k-1)}\frac{x}{(x^2+p)^{k-1}}从而得到递推式 \end{align}$$
6. 特殊解法
   • 观察分子能否凑成分母因式的和或差
   • 倒代换，适用于分母次数远高于分子，使得分子次数远高于分母，从而对分子加减拆项
   • 分子最高次比分母小一，凑微分去除分子最高次项
   • 分子加减凑项，尝试裂项后能消去分母一部分，或配合分母凑微分，注意分母包括因式分解前后的分母
   • 子式法，对于n阶分母有理式，找到n个线性无关的能积分子式，用子式表示分子
     $$\begin{align} 对于\quad&\int\frac{Ax^3+Bx^2+Cx+D}{x^4+px^2+q}\mathrm{d} x \\ 由于\quad& \int \frac{4x^3+2px}{x^4+px^2+q}\mathrm{d} x=\int \frac{\mathrm{d} (x^4+px^2+q)}{x^4+px^2+q} \\ & \int \frac{x^2+\sqrt q}{x^4+px^2+q}\mathrm{d} x=\int \frac{\mathrm{d} (x-\frac{\sqrt q}{x})}{x^2+\frac{q}{x^2}+p} \\ & \int \frac{x^2-\sqrt q}{x^4+px^2+q}\mathrm{d} x=\int \frac{\mathrm{d} (x+\frac{\sqrt q}{x})}{x^2+\frac{q}{x^2}+p} \\ & \int \frac{2x}{x^4+px^2+q}\mathrm{d} x=\int \frac{\mathrm{d} (x^2)}{x^4+px^2+q} \\ 因此\quad&Ax^3+Bx^2+Cx+D可以拆成4x^3+2px,x^2+\sqrt q,x^2-\sqrt q,2x的线性组合，然后分别积分 \end{align}$$

2. 三角有理式积分
   $$\int R(\sin x, \cos x) \mathrm{d} x$$
   • 一般方法（万能代换）
     令$\tan \frac{x}{2}=t$.
     $$\int R(\sin x, \cos x) \mathrm{d} x = \int R\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \frac{2}{1+t^2} \mathrm{~d} t$$
   • 特殊方法

1. 缩分母
   • 分母为$1\pm\cos x$或$1\pm\sin x$，可以分子分母同乘以乘以共轭式，或用二倍角公式
   • 分母为$a\sin x\pm b\cos x$，可以考虑辅助角公式，如果分子分母同次，还可以同乘以共轭式
2. 凑微分
   • 若$R(-\sin x, \cos x)=-R(\sin x, \cos x)$，则令$u=\cos x$，即凑$\mathrm{d} \cos x$
   • 若$R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x, \cos x)$，则令$u=\sin x$，即凑$\mathrm{d} \sin x$
   • 若$R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x, \cos x)$，则令$u=\tan x$，即凑$\mathrm{d} \tan x$
3. 凑子式
   $$\int \frac{a \sin x+b \cos x}{c \sin x+d \cos x} \mathrm{d} x$$
   • $a \sin x+b \cos x=A(c \sin x+d \cos x)+B(c \sin x+d \cos x)^\prime$，求出$A,B$，则积分结果为$Ax+B\ln|c \sin x+d \cos x|+C$
4. 利用积化和差公式，如
   $$\int \sin ax\sin bx\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int(\cos(ax-bx)-\cos(ax+bx))\mathrm{d}x$$
5. 凑分子，如
   $$\begin{align} &\int \frac{1}{\sin(x+a)\sin(x+b)}\mathrm d x \\ =&\frac{1}{\sin(a-b)}\int\frac{\sin[(x+a)-(x+b)]}{\sin(x+a)\sin(x+b)}\mathrm d x \\ =&\frac{1}{\sin(a-b)}\int\left[\frac{\cos(x+b)}{\sin(x+b)}-\frac{\cos(x+a)}{\sin(x+a)}\right]\mathrm d x \end{align} \quad\quad \begin{align} &\int \frac{1}{\sin(x+a)\cos(x+b)}\mathrm d x \\ =&\frac{1}{\cos(a-b)}\int\frac{\cos[(x+a)-(x+b)]}{\sin(x+a)\cos(x+b)}\mathrm d x \\ =&\frac{1}{\cos(a-b)}\int\left[\frac{\cos(x+a)}{\sin(x+a)}+\frac{\sin(x+b)}{\cos(x+b)}\right]\mathrm d x \end{align}$$
6. 出现不同角度，首先统一角度
7. 如果都为偶数次，用二倍角公式和$(\sin^2 x+\cos ^2 x)^n$降次；如果都为一次但角度有倍数关系，用二倍角公式升次
8. 注意$\sin x\pm\cos x,\sin x\cos x,\mathrm{d}(\sin x\pm\cos x)$的关系
9. 对于$\sqrt{x^2-a^2}$，$x\ge a$时令$x=a\sec t$，$x\le -a$时令$u=-x$再用三角代换

3. 简单无理函数积分
   $$\int R\left(x, \sqrt[n]{\frac{a x+b}{c x+d}}\right) \mathrm{d} x$$
   • 令$\sqrt[n]{\frac{a x+b}{c x+d}}=t$，将其化为有理函数积分进行计算.

第七节 定积分

定积分的概念

• 设函数${f(x)}$在区间$[a, b]$上有定义，在区间$[a, b]$内任意揷人$n-1$个分点$a=x_0\lt$ $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_{n-1}\lt x_n=b$
• 将区间$[a, b]$分成$n$个小区间$\left[x_{i-1}, x_i\right], i=1,2, \cdots, n$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$表示第$i$个小区间的长度.
• 在$\left[x_{i-1}, x_i\right]$上任取一点$\xi_i$，作和式$\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$，记$$\lambda=\max \left\{\Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n\right\}$$
• 若$\lim_{\lambda \rightarrow0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$存在，且此极限值不依赖于区间$[a, b]$的分法，也不依赖于点$\xi_i$的取法，则称此极限值为${f(x)}$在区间$[a, b]$上的定积分，记为$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$，即$$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x=\lim_{\lambda \rightarrow0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$$
• 定积分表示一个数值，它取决于积分区间$[a, b]$与被积函数${f(x)}$，与积分变量无关，因此有
  $$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x=\int_a^b {f(t)} \mathrm{d} t$$
• 若${f(x)}$在区间$[0,1]$上连续，则积分$\int_0^1{f(x)} \mathrm{d} x$存在.将$[0,1]$区间$n$等分，此时$\Delta x_i=\frac{1}{n}$，取$\xi_i=\frac{i}{n}$，由定积分的定义得$$\int_0^1{f(x)} \mathrm{d} x=\lim_{x \rightarrow0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)$$
  等式右端的极限可通过等式左端的积分来计算.

定积分的几何意义

1. 设$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$存在，若在$[a, b]$上${f(x)} \ge0$，则$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$的值等于以曲线$y={f(x)}$，$x=a, x=b$及$x$轴所围成的曲边梯形的面积.
2. 若在$[a, b]$上${f(x)} \le0$，则$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$的值等于以曲线$y={f(x)}, x=a, x=b$及$x$轴所围成的曲边梯形面积的负值.
3. 若在$[a, b]$上${f(x)}$的值有正也有负，则$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$在几何上表示$y={f(x)}, x=a$，$x=b$及$x$轴所围成的$x$轴上方图形的面积减去下方图形的面积所得之差.

可积性

1. 必要条件
   • 若$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$存在，则${f(x)}$在$[a, b]$上有界.
   • 无界函数一定不可积
2. 充分条件
   • 若${f(x)}$在$[a, b]$上连续，则$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$必定存在.
   • 若${f(x)}$在$(a, b)$上有单调有界，则$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$必定存在.
   • 若${f(x)}$在$[a, b]$上有界，且只有有限个间断点，则$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$必定存在.
   • 若${f(x)}$在$[a, b]$上只有有限个第一类间断点，则$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$必定存在.
3. 连续必可积，可积不一定连续

定积分的计算

1. 牛顿-莱布尼兹公式
   • 如果函数${F(x)}$是连续函数${f(x)}$在区间$[a, b]$上的一个原函数，则$$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x={F(b)}-{F(a)} .$$
2. 换元积分法
   • 设${f(x)}$在区间$[a, b]$上连续，函数$x=\varphi(t)$满足以下条件:
     $\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b$；
     $\varphi(t)$在$[\alpha, \beta]$（或$[\beta, \alpha]$）上具有连续导数，且其值域$R_{\varphi}=[a, b]$，则
     $$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x=\int_a^\beta {f(\varphi(t)}) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t$$
3. 分部积分法
   • 设函数$u(x)$和$v(x)$在$[a, b]$上有连续一阶导数，则$$\int_a^b u \mathrm{~d} v=\left.u v\right|_a ^b-\int_a^b v \mathrm{~d} u$$
4. 利用奇偶性和周期性
   • 设${f(x)}$为$[-a, a]$上的连续函数$(a\gt 0)$，则
     $$\int_{-a}^a {f(x)} \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{cc}0, & {f(x)} \text {为奇函数, } \\2\int_0^a {f(x)} \mathrm{d} x, & {f(x)} \text {为偶函数. }\end{array}\right.$$
   • 设${f(x)}$是以$T$为周期的连续函数，则对任给数$a$，总有
     $$\int_a^{a+T} {f(x)} \mathrm{d} x=\int_0^T {f(x)} \mathrm{d} x$$
5. 利用公式
   • $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x \mathrm{~d} x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^n x \mathrm{~d} x=\left\{\begin{array}{lc}\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text {为偶数, } \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \cdots \cdot \frac{2}{3}, & n \text {为大于}1\text {的奇数. }\end{array}\right.$
   • $\int_0^\pi x {f(\sin x)} \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_0^\pi {f(\sin x)} \mathrm{d} x$（其中${f(x)}$连续）.

变限积分

1. 若${f(x)}$在$[a, b]$上连续，则$\int_a^x {f(t)} \mathrm{d} t$在$[a, b]$上可导且
   $$\left(\int_a^x {f(t)} \mathrm{d} t\right)^{\prime}={f(x)}$$
2. 变限求导的三个类型（原函数连续，上下限可导）
   • $\left(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)} {f(t)} \mathrm{d} t\right)^{\prime}={f(\psi(x)}) \psi^{\prime}(x)-{f(\varphi(x)}) \varphi^{\prime}(x)$；
   • $\left(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)} {f(x, t)} \mathrm{d} t\right)^{\prime}=\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)} \frac{\partial {f(x, t)}}{\partial x} \mathrm{~d} t+{f(x, \psi(x)}) \psi^{\prime}(x)-{f(x, \varphi(x)}) \varphi^{\prime}(x)$；
   • $\left(\int_a^b {f(x, t)} \mathrm{d} t\right)^{\prime}=\int_a^b \frac{\partial {f(x, t)}}{\partial x} \mathrm{~d} t$.

1. 若$f(x)$在$[a,b]$可积，则$\int_a^x f(t) \mathrm d t$在$[a,b]$连续
   • 若$f(x)$有一个可去间断点$x_0$，则$\int_a^x f(t)\mathrm d t$仍然可导，但是导函数不是$f(x)$（况且且存在第一类间断点的函数没有原函数），而是修复$f(x)$在$x_0$点定义后的函数
   • 若$f(x)$有一个跳跃间断点$x_0$，则$\int_a^x f(t)\mathrm d t$在$x_0$不可导（况且且存在跳跃间断点的函数没有原函数），左右导函数不同
2. 若$f(x)$在$[a,b]$连续，则$\int_a^x f(t) \mathrm d t$在$[a,b]$可导，且$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^x f(t) d t =f(x)$
3. 若$f(x)$以$T$为周期，则$\int_a^x f(t) d t$以$T$为周期的充要条件是$\int_0^T f(t) d t =0$
4. 抽象积分，常用$g(x)\mathrm d x=\mathrm d\left[\int_{a}^{x}g(x)\mathrm d x\right]$，灵活选取$a$实现消项

定积分的性质

1. 不等式
   • 若${f(x)} \le g(x), x \in[a, b]$，则$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x \le \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$.
   • 若${f(x)}$在$[a, b]$上连续，则$m(b-a) \le \int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x \le M(b-a)$，其中$m, M$分别为${f(x)}$在$[a, b]$上的最小值与最大值.
   • $\left|\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x\right| \le \int_a^b|{f(x)}| \mathrm{d} x$.
2. 积分中值定理
   • 若${f(x)}$在$[a, b]$上连续，则$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x={f(\xi)}(b-a), a\lt \xi\lt b$.
   • 注意这里的$\xi$是在开区间里，这给此定理的应用带来方便，如下面的例2.
   • 若${f(x)}, g(x)$在$[a, b]$上连续，且$g(x)$不变号，则
     $$\int_a^b {f(x)} g(x) \mathrm{d} x={f(\xi)} \int_a^b g(x) \mathrm{d} x, a \le \xi \le b$$
   • 通常称（1）为积分中值定理，称（2）为广义积分中值定理.显然， （1）是（2）的特例，在（2）中取$g(x)=1$便可得到（1）.

积分不等式

1. 利用变限积分
   • $f(x)$在$[a,b]$连续、递增，证明$\int_a^b x {f(x)} d x \ge \frac{a+b}{2} \int_a^b {f(x)} d x$
     $$\begin{align} {F(x)}&=\int_a^x t {f(t)} d t-\frac{a+x}{2} \int_a^x {f(t)} d t \\ F^{\prime}(x) & =x {f(x)}-\frac{1}{2} \int_a^x {f(t)} d t-\frac{a+x}{2} {f(x)} \\ & =\frac{x-a}{2} {f(x)}-\frac{1}{2} \int_a^x {f(t)} d t \\ & =\frac{x - a}{2} {f(x)}-\frac{x-a}{2} {f(\xi)} \\ & =\frac{x- a}{2}[{f(x)}-{f(\xi)}]\ge 0 \\ F(b)&\ge F(a)=0 \end{align}\\ 若连续改为可积，则\left(x-\frac{a+b}{2}\right) \left[{f(x)}-f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right] \ge0\Rightarrow \int_a^b\left(x-\frac{a+b}{2}\right) \left[{f(x)}-f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right] d x \ge0$$
   • $f(x)$在$[0,1]$连续可导，$0\lt f^\prime(x)\le 1,f(x)=0$，证明$\left(\int_0^1{f(x)} d x\right)^2\ge \int_0^1f^3(x) d x$
     $${F(x)}=\left(\int_0^x {f(t)} d t\right)^2-\int_0^x f^3(t) d t,F(0)=0,F^\prime(x)\gt 0$$
   • ${f(x)}=\int_0^x\left(t-t^2\right) \sin ^{2n} t d t \quad(x>0)$，证明${f(x)} \le \frac{1}{(2n+2)(2n+3)}$
     $$\begin{align} &f^\prime(x)=x(1-x)\sin^{2n}x \\ &f(x)\le f(1)=\int_0^1\left(t-t^2\right) \sin ^{2n} t d t\le \int_0^1\left(t-t^2\right) t ^{2n} d t=\frac{1}{(2n+2)(2n+3)} \end{align}$$
   • $f(x),g(x)$在$[0,1]$连续可导，$f(0)=0,f^\prime(x)\gt 0,g^\prime(x)\gt 0$，证明$\forall a\in[0,1]$，均满足$\int_0^a f^{\prime}(x) g(x) d x+\int_0^1{f(x)} g^{\prime}(x) d x \ge {f(a)} g(1)$
     $$\begin{align} &{F(x)}=\int_0^x f^{\prime}(t) g(t) d t+\int_0^1{f(x)} g^{\prime}(x) d x-{f(x)} g(1) \\ &{F^\prime(x)}=f^\prime(x)[g(x)-g(1)]\le0 \end{align}$$
   • （柯西不等式）$f(x),g(x)$在$[a,b]$连续可导，证明$\int_a^b f^2(x) d x \cdot \int_a^b g^2(x) d x \ge\left[\int_a^b {f(x)} g(x) d x\right]^2$
     $$\begin{align} F(x)&=\int_a^x f^2(t) d t \cdot \int_a^x g^2(t) d t -\left[\int_a^x {f(t)} g(t) d t\right]^2 \\ F^\prime(x)&=f^2(x) \int_a^x g^2(t) d t+ g^2(x)\int_a^x f^2(t) d t-2{f(x)} g(x) \int_a^x {f(t)} g(t) d t \\ &=\int_a^x\left[f^2(x) g^2(t)+f^2(t) g^2(x)-2{f(t)} g(t) {f(x)} g(x)\right] d t\ge0 \end{align}$$
     见到积分里有平方，就考虑柯西不等式
     可以证明闵可夫斯基不等式
     $$\left[\int_a^b[{f(x)}+g(x)]^2d x\right]^{\frac{1}{2}} \leqslant\left(\int_a^b f^2(x) d x\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\int_a^b g^2(x) d x\right)^{\frac{1}{2}}$$
   • （切比雪夫不等式）$f(x),g(x)$在$[a,b]$连续且单调性相同，证明$(b-a)\int_a^b {f(x)} \cdot g(x) d x \geqslant \int_a^b {f(x)} d x \cdot \int_a^b g(x) d x$
     $$\begin{align} F(x)&=(x-a) \int_a^x {f(t)} g(t) d t-\int_a^x {f(t)} d t \cdot \int_a^x g(t) d t \\ F^\prime(x)&=\int_a^x {f(t)} g(t) d t+(x-a) {f(x)} g(x)-{f(x)} \int_a^x g(t) d t- g(x)\int_a^x {f(t)} d t \\ &=\int_a^x\left[f(t)-f(x)\right]\left[g(t)-g(x)\right] d t \end{align}$$
     完整的切比雪夫不等式
     $$\int_a^b p(x) {f(x)} d x \cdot \int_a^b p(x) g(x) d x \leq \int_a^b p(x) d x \int_a^b p(x) {f(x)} g(x) d x$$
   • $f(x),g(x)$在$[a,b]$连续，证明$\int_a^b\left(\frac{b-x}{b-a}\right)^n {f(x)} d x \le \frac{1}{n+1} \int_a^b {f(x)} d x$
     $$\begin{align} 原式&\Leftrightarrow \int_a^b(b-x)^n {f(x)} d x \le \frac{(b-x)^n}{n+1}\int_a^b {f(x)} d x \\ F(x)&=\int_x^b(b-t)^n {f(t)} d t-\frac{(b-x)^n}{n+1} \int_x^b {f(t)} d t \\ F^\prime(x)&\ge 0 \end{align}$$
     为避免在端点时无定义，先去掉分母
     变上限时会在积分里引入$x$，因此选择变下限
2. 利用积分不等式
   • ${f(x)}$在$[a, b]$连续可导，${f(a)}=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \le M$，证明$\left|\int_a^b {f(x)} d x\right| \le \frac{M}{2}(b-a)^2$
     $$\begin{align} &\left|\int_a^b {f(x)} d x\right|=\left|\int_a^b[{f(x)}-{f(a)}] d x\right|=\left|\int_a^b(x-a) f^{\prime}(\xi) d x\right|\le M \int_a^b(x-a) d x= \frac{M}{2}(b-a)^2 \\ &\left|\int_a^b {f(x)} d x\right|=\left|\int_a^b {f(x)} d(x-b)\right|=\left|\left.(x-b) {f(x)}\right|_a ^b-\int_a^b(x-b) f^{\prime}(x) d x\right|\le M \int_a^b(b-x) d x= \frac{M}{2}(b-a)^2 \\ &\left|\int_a^b {f(x)} d x\right|=\left|\int_a^b[{f(x)}-{f(a)}] d x\right|=\left|\int_a^b \int_a^x f^{\prime}(t) d t d x\right|\le \left|\int_a^b \int_a^x M d t d x\right|=\frac{M}{2}(b-a)^2 \end{align}$$
     告诉关于$\left|f^\prime(x)\right|$的范围时，考虑用拉格朗日中值定理、分部积分、逆用牛顿莱布尼茨公式
   • ${f(x)}$在$[a, b]$连续可导,${f(a)}={f(b)}=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \le M$，证明$\left|\int_a^b {f(x)} d x\right| \le \frac{M}{4}(b-a)^2$
     $$\begin{align} &\left|\int_a^b {f(x)} d x\right| \\ =&\left|\int_a^{\frac{a+b}{2}}[{f(x)}-{f(a)}] d x+\int_{\frac{a+b}{2}}^b[{f(x)}-{f(b)}] d x\right| \\ \le&\int_a^{\frac{a+b}{2}}|{f(x)}-{f(a)}| d x+\int_{\frac{a+b}{2}}^b|{f(x)}-{f(b)}| d x \\ \le& M \left[\int_a^{\frac{a+b}{2}}(x-a) d x+ \int_{\frac{a+b}{2}}^b(b-x) d x\right] \\ =&\frac{M}{4}(b-a)^2 \end{align}$$
     条件轮换对称时，考虑中点
     或对$\left|\int_a^b {f(x)} d \left(x-\frac{a+b}{2}\right)\right|$分部积分
     如果没有$f(b)=0$，仍强行在中点分开，可以证明$\left|\int_a^b {f(x)} d x\right| \le \frac{(b-a)^2}{4} M+\frac{b-a}{2}|{f(b)}|$
   • ${f(x)}$在$[0, 1]$连续递减，证明$\int_0^a {f(x)} d x \ge a \int_0^1{f(x)} d x$
     $$\begin{align} &\Leftrightarrow(1-a) \int_0^a {f(x)} d x \ge a \int_a^1{f(x)} d x \\ &\Leftrightarrow(1-a) a f\left(\xi_1\right) \ge a (1-a) f\left(\xi_2\right) \end{align}$$
     告诉关于$f(x)$的单调性，利用积分中值定理去掉积分不等式的积分符号，从而证明
   • ${f(x)}$在$[a, b]$连续，证明$\int_a^b x {f(x)} d x \ge \frac{a+b}{2} \int_a^b {f(x)} d x$
     $$\begin{align} F(x)&=\int_a^b\left(x-\frac{a+b}{2}\right) {f(x)} d x \\ &=\int_a^{\frac{a+b}{2}}\left(x-\frac{a+b}{2}\right) {f(x)} d x+\int_{\frac{a+b}{2}}^b\left(x-\frac{a+b}{2}\right) {f(x)} d x \\ &=f\left(\xi_1\right) \int_a^{\frac{a+b}{2}}\left(x-\frac{a+b}{2}\right) d x+f\left(\xi_2\right) \int_{\frac{a+b}{2}}^b\left(x-\frac{a+b}{2}\right) d x \\ &=\frac{(b-a)^2}{8} \left[f\left(\xi_2\right)-f\left(\xi_1\right)\right]\ge 0 \end{align}$$
     积分区间一样时，合并积分，拆区间构造两个不变号的项，利用积分第一中值定理
3. 利用泰勒展开
   • ${f(x)}$在$[a, b]$二阶连续可导，$f(\frac{a+b}{2})=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \le M$，证明$\left|\int_a^b {f(x)} d x\right| \le \frac{m}{24} (b-a)^3$
     $$\begin{align} &{f(x)}=f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2!}\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2 \\ &\int_a^b {f(x)} d x=(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right) \int_a^b\left(x-\frac{a+b}{2}\right) d x+\int_a^b \frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2!}\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2d x \\ &\left|\int_a^b {f(x)} d x\right| \le \frac{M}{2} \int_a^b\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2d x= \frac{m}{24} (b-a)^3 \end{align}$$
     对于高阶导数条件，一般用泰勒展开，展开点可以是题目条件的中的点
   • ${f(x)}$在$[a, b]$二阶连续可导，$f(a)=f(b)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \le M$，证明$\left|\int_a^b {f(x)} d x\right| \le \frac{m}{12} (b-a)^3$
     $$\begin{align} &0={f(a)}={f(x)}+f^{\prime}(x)(a-x)+\frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_1\right)}{2!}(a-x)^2 \\ &0=\int_a^b {f(x)} d x+\int_a^b(a-x) d {f(x)}+\int_a^b \frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_1\right)}{2!}(a-x)^2d x=2\int_a^b {f(x)} d x+\int_a^b \frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_1\right)}{2!}(a-x)^2d x \\ &\left|\int_a^b {f(x)} d x\right|=\frac{1}{4} \left| \int_a^b f^{\prime \prime} (\xi_1)(a-x)^2d x \right| \le \frac{m}{12} (b-a)^3 \end{align}$$
     固定点在固定点展开，结果不含$x$。想要有$x$，除了$x$在$x_0$展开，也可以$x_0$在$x$展开
     也可以用分部积分法
     $$\begin{align} \int_a^b {f(x)} d x=&\int_a^b {f(x)} d(x-a)=-\int_a^b(x-a) f^{\prime}(x) d x \\ =&-\int_a^b(x-a) f^{\prime}(x) d(x-b)=\int_a^b(x-b)\left[f^{\prime}(x)+(x-a) f^{\prime \prime}(x)\right] d x \\ =&\int_a^b(x-b) d {f(x)}+\int_a^b(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(x) d x=-\int_a^b {f(x)} d x+\int_a^b(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(x) d x \\ \int_a^b {f(x)} d x=&\frac{1}{2}\int_a^b(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(x) d x \end{align}$$
     $n$个条件确定$\int_a^bf(x)dx =\int_a^b G_n(x) f^{(n)}(x)dx$，用待定系数法确定$n$次多项式$G_n(x)$
   • $f^{\prime\prime}(x)\le0$，证明$\int_0^1f\left(x^2\right) d x \leq f\left(\frac{1}{3}\right)$
     $$\begin{align} &{f(x)} = f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime\prime}}{2}\left(\xi\right)\left(\xi-x_0\right)^2\le f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right) \\ &根据不等号方向，确定\ x=x^2,x_0=\frac{1}{3} \\ &\int_0^1f\left(x^2\right) d x \le f\left(\frac{1}{3}\right)+f^{\prime}\left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right) \end{align}$$
     偶次导的正负性，确定关于泰勒展开的不等式
   • ${f(x)}$在$[a, b]$二阶连续可导，$f^{\prime\prime}(x)\ge0$，证明$f\left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{\int_a^b {f(x)} d x}{b-a} \le \frac{{f(a)}+{f(b)}}{2}$
     $$\begin{align} &{f(x)} \ge f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right) \\ &根据不等号方向，确定\ x=x,x_0=\frac{a+b}{2} \\ &\int_a^b {f(x)} dx\ge \int_a^b \left[f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)\right] dx\Rightarrow f\left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{\int_a^b {f(x)} d x}{b-a} \\ &根据不等号方向，确定\ x=a,x_0=x \\ &\int_a^b {f(a)} dx\ge \int_a^b {f(x)} dx + \int_a^b (a-x) d\left[f(x)-f(b)\right]=2\int_a^b {f(x)} dx -\int_a^b {f(a)} dx\Rightarrow \frac{\int_a^b {f(x)} d x}{b-a} \le \frac{{f(a)}+{f(b)}}{2} \end{align}$$
   • $f^{\prime\prime}(x)\le0$，证明$\frac{\int_a^b f[g(x)] d x}{b-a} \ge f\left[\frac{\int_a^b g(x) d x}{b-a}\right]\quad (a\lt b)$
     $$\begin{align} &{f(x)} \ge f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right) \\ &根据不等号方向，确定\ x=g(x),x_0=\frac{\int_a^b g(x) d x}{b-a} \\ &\int_a^b f[g(x)] d x\ge (b-a)f\left[\frac{\int_a^b g(x) d x}{b-a}\right]+0 \end{align}$$
     先函数再积分大于先积分再函数
     形如$\int_0^1\ln {f(x)} d x \le \ln\int_0^1{f(x)} d x$，注意外层函数的凹凸性，构造关于外层函数的泰勒不等式
4. 利用柯西不等式
   • 积分相乘且不等号为大于号
     ${f(x)}$在$[a, b]$连续恒正，证明$\int_a^b {f(x)} d x \cdot \int_a^b \frac{1}{{f(x)}} d x \ge(b-a)^2$
     $$\int_a^b {f(x)} d x \int_a^b \frac{1}{{f(x)}} d x \ge\left(\int_a^b d x\right)^2=(b-a)^2$$
     ${f(x)}$在$[0, 1]$连续恒正，证明$\frac{\int_0^1f^3(x) d x}{\int_0^1f^2(x) d x} \ge \frac{\int_0^1f^2(x) d x}{\int_0^1{f(x)} d x}$
     $$\int_0^1f^3(x) d x \cdot \int_0^1{f(x)} d x \ge\left(\int_0^1f^2(x) d x\right)^2$$
     证明$\int_0^\pi x a^{\sin x} d x \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} a^{-\cos x} d x \ge \frac{\pi^3}{4}\quad(a>0)$
     $$\begin{align} &利用\int_0^\pi x {f(\sin x)} d x=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} {f(\sin x)} d x,\int_0^{\frac{\pi}{2}} {f(\sin x)} d x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} {f(\cos x)} d x \\ &左=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} a^{\sin x} d x \int_0^{\frac{\pi}{2}} a^{-\sin x} d x\ge \pi \cdot\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}d x\right)^2 \end{align}$$
   • 积分平方且不等号为小于号，注意恰当分解，从右往左分析
     ${f(x)}$在$[0, 1]$连续，证明$\left[\int_0^1\frac{{f(x)}}{a^2+x^2} d x\right]^2\le \frac{\pi}{2a} \int_0^1\frac{f^2(x)}{a^2+x^2} d x$
     $$\left[\int_0^1\frac{{f(x)}}{a^2+x^2} d x\right]^2=\left(\int_0^1\frac{{f(x)}}{\sqrt{a^2+x^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}} d x\right)^2\le\frac{\pi}{2a} \int_0^1\frac{f^2(x)}{a^2+x^2} d x$$
     ${f(x)}$在$[a, b]$连续，${f(x)} \ge0, \int_a^b {f(x)} d x=1$，证明$\left(\int_a^b {f(x)} \sin k x d x\right)^2+\left(\int_a^b {f(x)} \cos k x d x\right)^2\leqslant1$
     $$\begin{align} &I_1=\int_a^b \sqrt{{f(x)}} \cdot \sqrt{{f(x)}} \sin k x d x\le \int_a^b {f(x)} \sin ^2k x d x \\ &I_2=\int_a^b \sqrt{{f(x)}} \cdot \sqrt{{f(x)}} \cos k x d x\le \int_a^b {f(x)} \cos ^2k x d x \\ &I_1+I_2\le 1 \end{align}$$
   • 被积函数是平方且不等号为大于号
     ${f^\prime(x)}$在$[0, 1]$连续，${f(1)}={f(0)}+1$，证明$\int_0^1\left[f^{\prime}(x)\right]^2d x \ge 1$
     $$\int_0^1\left[f^{\prime}(x)\right]^2d x=\int_0^1\left[f^{\prime}(x)\right]^2d x \int_0^11^2d x \ge\left(\int_0^1f^{\prime}(x) d x\right)^2=1$$
     ${f^\prime(x)}$在$[a, b]$连续，${f(1)}={f(0)}=0,\int_a^b f^2(x) d x=1$，证明$\int_a^b\left[x f^{\prime}(x)\right]^2d x\gt \frac{1}{4}$
     $$\begin{align} &\int_a^b\left[x f^{\prime}(x)\right]^2d x=\int_a^b\left[x f^{\prime}(x)\right]^2d x\cdot \int_a^b f^2(x) d x\ge \int_a^b x f^{\prime}(x) {f(x)} d x=\frac{1}{4} \\ &xf^\prime(x)=kf(x),f(x)=Cx^k,则C=0,不满足题目条件，不能取等 \end{align}$$
     ${f^\prime(x)}$在$[0, 1]$连续可导，$f(0)=0$证明$\int_0^1f^2(x) d x \le \frac{1}{2} \int_0^1\left[f^{\prime}(x)\right]^2d x$
     $$\begin{align} &f^2(x)=\left[\int_0^x f^{\prime}(t) d t\right]^2=\left[\int_0^x f^{\prime}(t) \cdot 1 d t\right]^2\le x \int_0^x\left[f^{\prime}(t)\right]^2d t\le x \int_0^1\left[f^{\prime}(t)\right]^2d t \\ &\int_0^1f^2(x) d x \le \frac{1}{2}\int_0^1\left[f^{\prime}(t)\right]^2d t \end{align}$$
     ${f^\prime(x)}$在$[0, 1]$连续可导，$f(0)=f(1)=0$证明$\int_0^1f^2(x) d x \le \frac{1}{8} \int_0^1\left[f^{\prime}(x)\right]^2d x$
     $$\begin{align} &\int_0^1f^2(x) d x=\int_0^{\frac{1}{2}} f^2(x) d x+\int_{\frac{1}{2}}^1f^2(x) d x \\ &f^2(x)=\left[\int_0^x f^{\prime}(t) d t\right]^2=\left[\int_0^x f^{\prime}(t) \cdot 1 d t\right]^2\le x \int_0^x\left[f^{\prime}(t)\right]^2d t\le x \int_0^\frac{1}{2}\left[f^{\prime}(t)\right]^2d t \\ &I_1 \le \frac{1}{8}\int_0^\frac{1}{2}\left[f^{\prime}(t)\right]^2d t \\ &f^2(x)=\left[\int_x^1 f^{\prime}(t) d t\right]^2=\left[\int_x^1 f^{\prime}(t) \cdot 1 d t\right]^2\le x \int_x^1\left[f^{\prime}(t)\right]^2d t\le x \int_\frac{1}{2}^1 \left[f^{\prime}(t)\right]^2d t \\ &I_2 \le \frac{1}{8}\int_\frac{1}{2}^1 \left[f^{\prime}(t)\right]^2d t \\ &I_1+I_2\le \frac{1}{8} \int_0^1\left[f^{\prime}(x)\right]^2d x \end{align}$$
5. 利用二重积分+轮换对称性$\int_0^1{f(x)} d x \cdot \int_0^1g(y) d y=\iint_D f(x)g(y)dxdy=\frac{1}{2}\iint_D \left[f(x)g(y)+f(y)g(x)\right]dxdy$
   $$\begin{align} \int_a^b f^2(x) d x \cdot \int_a^b g^2(x) d x&=\int_a^b f^2(x) d x \cdot \int_a^b g^2(y) d y \\ &=\frac{1}{2} \iint_D\left[f^2(x) g^2(y)+f^2(y) g^2(x)\right] d x d y \\ &\le \iint_D\left[f(x) g(x)f(y) g(y)\right] d x d y \\ &=\left[\int_a^b {f(x)} g(x) d x\right]^2 \\ \int_a^b {f(x)} d x \cdot \int_a^b \frac{1}{{f(x)}} d x&=\int_a^b {f(x)} d x \cdot \int_a^b \frac{1}{{f(y)}} d y \\ &=\frac{1}{2}\iint_D \left[\frac{{f(x)}}{{f(y)}}+\frac{{f(y)}}{{f(x)}}\right] d x d y \\ &\le\iint_D d x d y \\ &=(b-a)^2 \\ \left(\int_a^b {f(x)}\cos k x d x\right)^2+\left(\int_a^b {f(x)} \sin k x d x\right)^2&= \iint_D {f(x)} {f(y)}(\cos k x \cos k y+\sin k x \sin k y) d x d y \\ &\le \iint_D {f(x)} {f(y)} d x d y \\ &=1 \end{align}$$

第八节 反常积分

无穷积分

1. 设${f(x)}$为$[a,+\infty)$上的连续函数，如果极限$\lim_{t \rightarrow+\infty} \int_a^t {f(x)} \mathrm{d} x$存在，则称此极限为函数${f(x)}$在无穷区间$[a,+\infty)$上的反常积分，记作$\int_a^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x$，即
   $$\int_a^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x=\lim_{t \rightarrow+\infty} \int_a^t {f(x)} \mathrm{d} x,$$
   • 这时也称反常积分$\int_a^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x$收敛。如果上述极限不存在，则称反常积分$\int_a^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x$发散。
2. 设${f(x)}$为$(-\infty, b]$上的连续函数，则可类似地定义函数${f(x)}$在无穷区间$(-\infty, b]$上的反常积分
   $$\int_{-\infty}^b {f(x)} \mathrm{d} x=\lim_{t \rightarrow-\infty} \int_t^b {f(x)} \mathrm{d} x .$$
3. 设${f(x)}$为$(-\infty,+\infty)$上的连续函数，如果反常积分$\int_{-\infty}^0{f(x)} \mathrm{d} x$和$\int_0^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x$都收敛，则称反常积分$\int_{-\infty}^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x$收敛，且
   $$\int_{-\infty}^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^0{f(x)} \mathrm{d} x+\int_0^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x .$$
   • 如果$\int_{-\infty}^0{f(x)} \mathrm{d} x$与$\int_0^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x$之一发散，则称$\int_{-\infty}^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x$发散。
4. （比较判别法）设${f(x)}, g(x)$在$[a,+\infty)$上连续，且$0\le {f(x)} \le g(x)$，则
   • 当$\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$收敛时， $\int_a^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x$收敛；
   • 当$\int_a^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x$发散时， $\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$发散。
5. （比较法的极限形式）设${f(x)}, g(x)$在$[a,+\infty)$上非负连续，且$\lim_{x \rightarrow+\infty} \frac{{f(x)}}{g(x)}=$ $\lambda$ （有限或无穷），则
   • 当$\lambda \neq0$时， $\int_a^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x$与$\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$同敛散；
   • 当$\lambda=0$时，若$\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$收敛，则$\int_a^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x$也收敛；
   • 当$\lambda=+\infty$时，若$\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$发散，则$\int_a^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x$也发散。
6. 常用结论
   $$\int_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^\alpha\ln^\beta x} \mathrm{d} x\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\alpha\gt1 \\ \alpha = 1,\beta\gt 1 \end{array},\text {收敛}\right.$$

必要条件是$f(x)$的极限为0

无界积分

1. 如果函数${f(x)}$在点$a$的任一邻域内都无界，那么点$a$称为函数${f(x)}$的瑕点（也称为无界点）。无界函数的反常积分也称为瑕积分。
   • 被积函数趋向瑕点的极限值为无穷大，否则不是瑕积分而是定积分
2. 设函数${f(x)}$在$(a, b]$上连续，点$a$为函数${f(x)}$的瑕点。如果极限
   $$\lim_{t \rightarrow a^{+}} \int_t^b {f(x)} \mathrm{d} x$$
   存在，则称此极限为函数${f(x)}$在区间$[a, b]$上的反常积分，记作$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$，即
   $$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x=\lim_{t \rightarrow a^{+}} \int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x,$$
   • 这时也称反常积分$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$收敛。如果上述极限不存在，则称反常积分$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$发散。
3. 设函数${f(x)}$在$[a, b)$上连续，点$b$为函数${f(x)}$的瑕点，则可类似地定义函数${f(x)}$在区间$[a, b]$上的反常积分
   $$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x=\lim_{t \rightarrow b^{-}} \int_a^t {f(x)} \mathrm{d} x .$$
4. 设函数${f(x)}$在$[a, b]$上除点$c(a\lt c\lt b)$外连续，点$c$为函数${f(x)}$的瑕点。如果反常积分$\int_a^c {f(x)} \mathrm{d} x$和$\int_c^b {f(x)} \mathrm{d} x$都收敛，则称反常积分$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$收敛，且
   $$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x=\int_a^c {f(x)} \mathrm{d} x+\int_c^b {f(x)} \mathrm{d} x .$$
   • 如果$\int_a^c {f(x)} \mathrm{d} x$与$\int_c^b {f(x)} \mathrm{d} x$之一发散，则称$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$发散。
5. （比较判别法）设${f(x)}, g(x)$在$(a, b]$上连续，且$0\le {f(x)} \le g(x), x=a$为${f(x)}$和$g(x)$的瑕点。则
   • 当$\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$收敛时， $\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$收敛；
   • 当$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$发散时， $\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$发散。
6. （比较法的极限形式）设${f(x)}, g(x)$在$(a, b]$上非负连续，且$\lim_{x \rightarrow a^{+}} \frac{{f(x)}}{g(x)}=\lambda$ （有限或无穷），则
   • 当$\lambda \neq0$时， $\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$与$\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$同敛散；
   • 当$\lambda=0$时，若$\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$收敛，则$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$也收敛；
   • 当$\lambda=+\infty$时，若$\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$发散，则$\int_a^b {f(x)} \mathrm{d} x$也发散。
7. 常用结论
   $$\int_{x\rightarrow0} \frac{1}{x^\alpha\ln^\beta x} \mathrm{d} x\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\alpha\lt1 \\ \alpha = 1,\beta\gt 1\end{array},\text {收敛}\right.$$

1. 积分的拆解
   • 判断敛散性时，可以任意拆区间和拆被积函数，全都收敛则收敛，有收敛有发散则发散，全都发散时需要讨论
     如果是拆区间，全部发散则发散
     如果是拆函数，全部发散有可能收敛有可能发散
   • 计算积分值时，只有拆区间和拆被积函数后每个部分都收敛，积分值才等于各部分的和
2. 判断敛散性
   • 将积分拆解成多个积分，确保每个积分只有一个反常
   • 利用凑微分、换元、等价，将被积函数换成$\frac{1}{x^\alpha\ln^\beta x}$的形式
   • 利用结论判断
3. 计算积分值
   • $\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}\mathrm{d} x$
     $\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$
     $\Gamma(n+1)=n!$
     $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt\pi$
   • $\int_0^{+\infty}f(x) \mathrm{d} x$
     直接倒代换，相当于区间再现
     分成$(0,1)$和$(1,+\infty)$，对后面倒代换，最后都是$(0,1)$的积分
     正切换元，压缩区间

第九节 定积分的应用

平面图形的面积

1. 计算平面图形的面积时，利用二重积分比利用一元定积分的元素法方便.设有平面域$D$，则该平面域$D$的面积为$$S=\iint_D1\mathrm{~d} \sigma$$
2. 若平面域$D$由曲线$y={f(x)}, y=g(x)({f(x)} \ge g(x))$，$x=a, x=b(a\lt b)$所围成，则$$S=\iint_D1\mathrm{~d} \sigma=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{g(x)}^{{f(x)}}1\mathrm{~d} y=\int_a^b[{f(x)}-g(x)] \mathrm{d} x$$
3. 若平面域$D$由曲线$r=r(\theta), \theta=\alpha, \theta=\beta(\alpha\lt \beta)$所围成（如图），则其面积为$$S=\iint_D1\mathrm{~d} \sigma=\int_a^\beta \mathrm{d} \theta \int_0^{r(\theta)} r \mathrm{~d} r=\frac{1}{2} \int_a^\beta r^2(\theta) \mathrm{d} \theta$$

4. 平面域$D$的面积直接用二重积分$S=\iint_D1\mathrm{~d} \sigma$计算，然后根据积分域$D$选择计算二重积分的方法（直角坐标、极坐标、奇偶性、对称性).

空间体的体积

1. 旋转体的体积
   
   • 旋转体的体积的一般问题是平面域$D$绕直线$L: a x+b y+c=0$（该直线不穿过区域$D$，如图3-6）旋转所得旋转体体积，记该体积为$V$.解决该问题利用二重积分比利用一元定积分的元素法方便.在区域$D$中取一小区域$(\mathrm{d} \sigma$， ，其面积记为$\mathrm{d} \sigma,(x, y)$为区域（$\mathrm{d} \sigma)$中的任一点，则该小区域绕直线$L$旋转所得环状体的体积近似值为
     $$\mathrm{d} V=2\pi r(x, y) \mathrm{d} \sigma$$
     其中$r(x, y)$为点$(x, y)$到直线$L$的距离，即$r(x, y)=\frac{|a x+b y+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.则
     $$V=2\pi \iint_D r(x, y) \mathrm{d} \sigma$$
   • 特别地，若区域$D$由曲线$y={f(x)}({f(x)} \ge0)$和直线$x=a, x=b(0\le a\lt b)$及$x$轴所围成（如图），则
     

     区域$D$绕$x$轴旋转$(r(x, y)=y)$一周所得旋转体的体积为$$V_x=2\pi \iint_D y \mathrm{~d} \sigma=2\pi \int_a^b \mathrm{~d} x \int_0^{{f(x)}} y \mathrm{~d} y=\pi \int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x$$
     区域$D$绕$y$轴旋转$(r(x, y)=x)$一周所得旋转体的体积为$$V_y=2\pi \iint_D x \mathrm{~d} \sigma=2\pi \int_a^b \mathrm{~d} x \int_0^{{f(x)}} x \mathrm{~d} y=2\pi \int_a^b x {f(x)} \mathrm{d} x$$

   • 平面域$D$绕直线$L: a x+b y+c=0$（该直线不穿过区域$D$）旋转所得旋转体体积直接用二重积分$V=2\pi \iint_D r(x, y) \mathrm{d} \sigma$计算，然后选择计算二重积分的方法（直角坐标、极坐标、奇偶性、对称性）.用这个方法比用一元的元素法简单得多.
2. 已知横截面面积的体积
   
   $$V=\int_a^b S(x) \mathrm{d} x .$$
3. 曲线弧长(数学三不要求)
4. 旋转体侧面积(数学三不要求)

物理应用(数学三不要求)

第十节 导数在经济学中的应用

经济学中常见的函数

1. 宏观
   • 需求函数$d=D(p)$，其中$d$为某产品的需求量，$p$为价格
   • 供给函数$s=S(p)$，其中$s$为某产品的供给量，$p$为价格
2. 微观
   • 价格函数$p=P(q)$，其中$q$为某产品的产量，$p$为价格，反函数$q=Q(p)$为需求函数
   • 成本函数$c=C(q)$是生产产品的总投人，它由固定成本$C_1$（常量）和可变成本$C_2(q)$两部分组成$$c=C(q)=C_1+C_2(q)$$
     平均成本$AC(q)=\frac{c}{q}=\frac{C_1}{q}+\frac{C_2(q)}{q}$
   • 收益（入）函数$r=R(q)$是产品售出后所得的收人，是单价$p$与产量$q$之积$$r=R(q)=P(q)\times q$$
     平均收益$AR(q)=\frac{r}{q}=P(q)$
   • 利润函数$\pi=L(q)$是收益扣除成本后的余额，由总收益减去总成本组成。即利润函数为$$\pi=L(q)=R(q)-C(q)$$

边际函数与边际分析

1. 边际函数的有关概念:设$y={f(x)}$可导，则在经济学中称$f^{\prime}(x)$为边际函数，$f^{\prime}\left(x_0\right)$称为${f(x)}$在$x=x_0$处的边际值
2. 经济学中常用的边际分析:
   • 边际成本：成本函数为$C=C(q)$，则边际成本函数$M C$为$M C=C^{\prime}(q)$
   • 边际收益：设收益函数为$R=R(q)$，则边际收益函数$M R$为$M R=R^{\prime}(q)$
   • 边际利润：设利润函数为$L=L(q)$，则边际利润函数$M L$为$M L=L^{\prime}(q)$

弹性函数与弹性分析

1. 弹性函数的有关概念
   • 设$y={f(x)}$可导，则称$\frac{\Delta y / y}{\Delta x / x}$为函数${f(x)}$当$x$从$x$变到$x+\Delta x$时的相对弹性，称$$\eta=\lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{\Delta y / y}{\Delta x / x}=f^{\prime}(x) \frac{x}{y}=\frac{f^{\prime}(x)}{{f(x)}} x$$为函数${f(x)}$的弹性函数，记为$\frac{E y}{E x}$，即$\eta=\frac{E y}{E x}=f^{\prime}(x) \frac{x}{{f(x)}}$
   • 它在经济学上解释为函数${f(x)}$在$x$处的相对变化率
2. 经济学中常用的弹性分析
   • 需求的价格弹性：设需求函数$d=D(p)$，则需求对价格的弹性为
     $$\eta_d(p)=\frac{p}{D(p)} D^{\prime}(p)$$
     由于$D(p)$是单调减少函数，故$D^{\prime}(p)\lt 0$，从而$\eta_d\lt 0$
     其经济学中的解释为：当价格为$p$时，若提价（或降价）$1\%$，则需求量将减少（或增加）$\eta_d \%$
   • 供给的价格弹性：设供给函数$s=S(p)$，则供给对价格的弹性为
     $$\eta_s(p)=\frac{p}{S(p)} S^{\prime}(p)$$
     由于供给函数$S(p)$单调增加，故$S^{\prime}(p)\gt 0$，从而$\eta_s\gt 0$
     其经济学中的解释为：当价格为$p$时，若提价（或降价）$1\%$，则供给量将增加（或减少）$\eta_s \%$

1. $R(P)=PQ(P)$
   $$\begin{align} &\frac{\mathrm d R}{\mathrm d P}=Q+P\frac{\mathrm d Q}{\mathrm d P}=Q\left(1+\frac{P}{Q}\frac{\mathrm d Q}{\mathrm d P}\right)= Q(1+E_P^Q) \\ & E_P^R=\frac{P}{R}\frac{\mathrm d R}{\mathrm d P}=\frac{P}{PQ}Q(1+E_P^Q)=1+E_P^Q \end{align}$$
2. $R(Q)=P(Q)Q$
   $$\begin{align} &\frac{\mathrm d R}{\mathrm d Q}=P+Q\frac{\mathrm d P}{\mathrm d Q}=P\left(1+\frac{Q}{P}\frac{\mathrm d P}{\mathrm d Q}\right)= P(1+E_Q^P) \\ & E_Q^R=\frac{Q}{R}\frac{\mathrm d R}{\mathrm d Q}=\frac{Q}{PQ}P(1+E_Q^P)=1+E_Q^P \end{align}$$
3. $E_P^QE_Q^P=1$
   $$E_P^QE_Q^P=\frac{P}{Q}\frac{\mathrm d Q}{\mathrm d P}\frac{Q}{P}\frac{\mathrm d P}{\mathrm d Q}=1$$

第十一节 常微分方程

常微分方程的基本概念

1. 微分方程
   • 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程,简称方程.
2. 微分方程的阶
   • 微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.
3. 微分方程的解
   • 满足微分方程的函数,称为该方程的解
4. 微分方程的通解
   • 如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称之为微分方程的通解
5. 微分方程的特解
   • 微分方程的不含任意常数的解,称之为特解.
6. 初始条件
   • 确定特解的一组常数称为初始条件
7. 积分曲线
   • 方程的一个解在平面上对应一条曲线,称为该微分方程的积分曲线

一阶微分方程

1. 可分离变量的方程
   • 能表示为$g(y) \mathrm{d} y={f(x)} \mathrm{d} x$的方程，称为可分离变量的方程。
   • 求解的方法是两端积分$$\int g(y) \mathrm{d} y=\int {f(x)} \mathrm{d} x$$
2. 齐次方程
   • 能化为$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$的微分方程称为齐次微分方程。
   • 求解齐次微分方程的一般方法为：令$u=\frac{y}{x}$，则$y^{\prime}=u+x u^{\prime}$，从而将原方程化为$x u^{\prime}=\varphi(u)-u$，此方程为可分离变量的方程。
3. 线性方程
   • 形如$y^{\prime}+p(x) y=Q(x)$的方程称为一阶线性微分方程。
   • 求解一阶线性微分方程的一般方法为常数变易法，或直接利用以下通解公式$$y=\mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}\left[\int Q(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \mathrm{~d} x+C\right] .$$
4. 伯努利方程（数三不做要求）
5. 全微分方程（数三不做要求）

可降阶的高阶方程（数三不做要求）

高阶线性微分方程

1. 线性微分方程的解的结构
   • 这里只讨论二阶线性微分方程，其结论可以推广到更高阶的方程。二阶线性微分方程的一般形式为$$y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y={f(x)} \text {. }$$
     这里的$p(x), q(x), {f(x)}$均为连续函数。当方程右端的${f(x)} \equiv0$时，称为二阶线性齐次方程。否则称为二阶线性非齐次方程
     齐次方程$y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0\quad (1)$。
     非齐次方程$y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y={f(x)}\quad (2)$。
   • 如果$y_1(x)$和$y_2(x)$是齐次方程（1）的两个线性无关的特解，那么
     $$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$$
     就是方程（1）的通解。
     方程（1）的两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数。
   • 如果$y^*$是非齐次方程（2）的一个特解，$y_1(x)$和$y_2(x)$是齐次方程（1）的两个线性无关的特解，则
     $$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x)$$
     是非齐次微分方程（2）的通解。
   • 如果$y_1^*(x), y_2^*(x)$是非齐次方程（2）的两个特解，则$y(x)=y_2^*(x)-y_1^*(x)$是齐次微分方程（1）的解。
   • 如果$y_1^*(x), y_2^*(x)$分别是方程
     $$\begin{aligned} & y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f_1(x) \\ & y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f_2(x) \end{aligned}$$
     的特解，则$y_1^*(x)+y_i^*(x)$是方程
     $$y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f_1(x)+f_2(x)$$
     的一个特解。
2. 常系数齐次线性微分方程
   • 二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为
     $$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0\quad (3)$$
     其特征方程为$r^2+p r+q=0$，设$r_1, r_2$为该方程的两个根。
   • 若$r_1\neq r_2$为两个不相等的实特征根，则方程（3）的通解为
     $$y=C_1\mathrm{e}^{r_1x}+C_2\mathrm{e}^{r_2x} .$$
   • 若$r_1=r_2$为二重实特征根，则方程（3）的通解为
     $$y=\left(C_1+C_2x\right) \mathrm{e}^{r_1x} \text {. }$$
   • 若$r_1=\alpha+\mathrm{i} \beta, r_2=\alpha-\mathrm{i} \beta$为一对共轭复根，则方程（3）的通解为
     $y=\mathrm{e}^{\mathrm{ax}}\left(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x\right) .$
3. 常系数非齐次线性微分方程
   • 二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为
     $$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y={f(x)} \quad (4)$$
   • 若${f(x)}=P_m(x) \mathrm{e}^{\lambda x}$，其中$P_m(x)$为$x$的$m$次多项式，则方程（4）的特解可设为
     $$y^{\ast}=x^k Q_m(x) \mathrm{e}^{\lambda x} \text {, }$$
     其中$Q_m(x)$是与$P_m(x)$同次的多项式，$k$是特征方程含根$\lambda$的重复次数。即当$\lambda$不是方程（3）的特征根时，$k=0$；当$\lambda$是方程（3）的单特征根时，$k=1$；当$\lambda$是方程（3）的重特征根时，$k=2$。
   • 若${f(x)}=\mathrm{e}^{a x}\left[P_l(x) \cos \beta x+P_n(x) \sin \beta x\right]$，其中$P_l(x), P_n(x)$分别为$x$的$l$次，$n$次多项式，则方程（4）的特解可设为
     $$y^*=x^k \mathrm{e}^{\mathrm{\alpha x}}\left[R_m^{(1)}(x) \cos \beta x+R_m^{(2)}(x) \sin \beta x\right] \text {, }$$
     其中$R_m^{(1)}(x), R_m^{(2)}(x)$是两个$m$次多项式，$m=\max \{l, n\}$。
     当$\alpha+\mathrm{i} \beta$不为方程（3）的特征根时，取$k=0$；
     当$\alpha+\mathrm{i} \beta$为方程（3）的单特征根时，取$k=1$。
4. 欧拉方程（数三不做要求）
5. 差分方程
   • 一阶常系数线性齐次差分方程
     $$y_{t+1}+a y_t=0\quad (1)$$
     通解为$y_c(t)=C \cdot(-a)^t\quad$。
   • 一阶常系数线性非齐次差分方程
     $$y_{t+1}+a y_t={f(t)}\quad (2)$$
     通解为$y_t=y_c(t)+y_t^*$，其中$y_t^*$是非齐次差分方程（2）的特解。
   • ${f(t)}=P_m(t)$
     若$a \neq-1$，令$y_i^*=Q_m(t)$；
     若$a=-1$，令$y_i^*=t Q_m(t)$。
   • ${f(t)}=d^t \cdot P_m(t),(d \neq0)$
     若$a+d \neq0$，令$y_i^*=d^t \cdot Q_m(t)$；
     若$a+d=0$，令$y_t^*=t d^t \cdot Q_m(t)$。

1. 齐次微分方程
   $$y^\prime=f(\frac{y}{x})$$
   • 令$t=\frac{y}{x}$可得$\frac{1}{f(u)-u}\mathrm d u=\frac{1}{x}\mathrm d x$
2. 无$x$的微分方程
   $$f\left(y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}\right)=0$$
   • 令$y^{\prime}=p$，得到$f\left(y, p, p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y}\right)=0$
3. 拉普拉斯算子
   • 性质
     $\mathcal{D}y=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x},\frac{1}{\mathcal{D}}y=\int y \mathrm{d} x$
     $\mathcal{L}(\mathcal{D})$满足普通多项式函数的运算性质
     $\mathcal{L}(\mathcal{D})C=C\mathcal{L}(0)$
     $\left[\mathcal{L}_1(\mathcal{D})\mathcal{L}_2(\mathcal{D})\right]f(x)=\mathcal{L}_1(\mathcal{D})\left[\mathcal{L}_2(\mathcal{D})f(x)\right]$
     $\mathcal{L}(\mathcal{D})e^{\lambda x}=e^{\lambda x}\mathcal{L}(\mathcal{D}+\lambda)$
     $\mathcal{L}(\mathcal{D}^2)\sin \alpha x=\sin \alpha x \mathcal{L}(-\alpha^2),\mathcal{L}(\mathcal{D}^2)\cos \alpha x=\cos \alpha x \mathcal{L}(-\alpha^2)$
     $\mathcal{L}(\beta)=0$，则$\frac{1}{\mathcal{L}(\beta)}=x\frac{1}{\mathcal{L}^{\prime}(\beta)}$
   • 应用
     $$\begin{align} &(\mathcal{D}^2+p\mathcal{D}+q)y=P_m(x) \mathrm{e}^{\lambda x} \\ &\quad y=\frac{1}{\mathcal{D}^2+p\mathcal{D}+q}P_m(x) \mathrm{e}^{\lambda x} \\ &\quad y=\mathrm{e}^{\lambda x}\frac{1}{(\mathcal{D}+\lambda)^2+p(\mathcal{D}+\lambda)+q}P_m(x) \\ &\quad y=\mathrm{e}^{\lambda x}\frac{1}{A\mathcal{D}^2+B\mathcal{D}+C}P_m(x) \\ &\quad y=\frac{1}{C}\mathrm{e}^{\lambda x}\left[-\frac{A\mathcal{D}^2+B\mathcal{D}}{C}+(-\frac{A\mathcal{D}^2+B\mathcal{D}}{C})^2+\cdots\right]P_m(x) \\ &(\mathcal{D}^2+p\mathcal{D}+q)y=\mathrm{e}^{\lambda x}\sin \alpha x \\ &\quad y=\frac{1}{\mathcal{D}^2+p\mathcal{D}+q}\mathrm{e}^{\lambda x}\sin \alpha x \\ &\quad y=\mathrm{e}^{\lambda x}\frac{1}{(\mathcal{D}+\lambda)^2+p(\mathcal{D}+\lambda)+q}\sin \alpha x \\ &\quad y=\mathrm{e}^{\lambda x}\frac{1}{A\mathcal{D}^2+B\mathcal{D}+C}\sin \alpha x \\ &\quad y=\mathrm{e}^{\lambda x}\frac{A\mathcal{D}^2+C-B\mathcal{D}}{(A\mathcal{D}^2+C)-(B\mathcal{D})^2}\sin \alpha x \\ &(\mathcal{D}^2+p\mathcal{D}+q)y=P_m(x)\sin \alpha x+Q_n(x)\cos \beta x \\ &\quad y=\mathrm{Im}\left[\frac{1}{\mathcal{D}^2+p\mathcal{D}+q}P_m(x)e^{i\alpha x}\right]+\mathrm{Re}\left[\frac{1}{\mathcal{D}^2+p\mathcal{D}+q}Q_n(x)e^{i\beta x}\right] \end{align}$$

第十二节 重极限、连续、偏导数、全微分(概念、理论)

重极限

1. 设函数${f(x, y)}$在区域$D$上有定义，点$P_0\left(x_0, y_0\right) \in D$为$D$的聚点，如果$\forall \varepsilon\gt 0$，存在$\delta\gt 0$，当$P(x, y) \in D$，且$0\lt \sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2}\lt \delta$时，都有
   $$|{f(x, y)}-A|\lt \varepsilon$$
   成立，则称常数$A$为函数${f(x, y)}$当$(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)$时的极限，记为
   $$\lim_{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} {f(x, y)}=A \text {或} \lim_{\substack{x \rightarrow x_0\\ y \rightarrow y_0}} {f(x, y)}=A \text {或} \lim_{P \rightarrow P_0} {f(P)}=A .$$
   • 这里的极限是要求点$(x, y)$在$D$内以任意方式趋近于点$\left(x_0, y_0\right)$时，函数$f(x$，$y$）都趋近于同一确定的常数$A$，否则该极限就不存在。
2. 一元函数极限中的下述性质对多元函数仍成立
   • 局部有界性、保号性、有理运算、极限与无穷小的关系、夹逼性。

1. 证明极限不存在
   • 找到一条路径极限不存在
   • 找到两条路径极限不相等
   • 极坐标变换证明极限与$\theta$有关
2. $\lim_{x \rightarrow0,y \rightarrow0} \frac{x^a y^b}{x^m+y^n}$
   • 若$m,n$不全是偶数，则极限不存在
   • 若$m,n$都是偶数，则$\frac{a}{m}+\frac{b}{n}\gt 1$时极限存在

连续

1. 若$\lim_{\substack{x \rightarrow x_0\\ y \rightarrow y_0}} {f(x, y)}=f\left(x_0, y_0\right)$，则称${f(x, y)}$在点$\left(x_0, y_0\right)$处连续。
2. 性质
   • 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍连续；
   • 基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区域内连续；
   • 有界闭区域上连续函数的性质
     有界性：若${f(x, y)}$在有界闭区域$D$上连续，则${f(x, y)}$在$D$上有界。
     最值性：若${f(x, y)}$在有界闭区域$D$上连续，则${f(x, y)}$在$D$上必有最大值和最小值。
     介值性：若${f(x, y)}$在有界闭区域$D$上连续，则${f(x, y)}$在$D$上可取到介于最小值与最大值之间的任何值。

偏导数

1. 定义
   $$\begin{aligned} & f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=\lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f\left(x, y_0\right)\right|_{x=x_0}, \\ & f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=\lim_{\Delta y \rightarrow0} \frac{f\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} f\left(x_0, y\right)\right|_{y=y_0} . \end{aligned}$$
   • $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$就是一元函数$f\left(x, y_0\right)$在$x_0$处的导数；$f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$就是一元函数$f\left(x_0\right.$，$y$）在$y_0$处的导数。
2. 几何意义
   • $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$表示曲线$z=f\left(x, y_0\right)$在点$\left(x_0, y_0, f\left(x_0, y_0\right)\right)$处的切线对$x$轴的斜率；
   • $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$表示曲线$z=f\left(x_0, y\right)$在点$\left(x_0, y_0, f\left(x_0, y_0\right)\right)$处的切线对$y$轴的斜率。
3. 高阶偏导数
   • 设$z={f(x, y)}$，则
     $$\begin{array}{ll} \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=f_{x x}^{\prime \prime}(x, y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right), & \frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}=f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right), \\ \frac{\partial^2z}{\partial y \partial x}=f_{y x}^{\prime \prime}(x, y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right), & \frac{\partial^2z}{\partial y^2}=f_{y y}^{\prime \prime}(x, y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) . \end{array}$$
   • 如果函数$z={f(x, y)}$的两个二阶混合偏导数$f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)$及$f_{y x}^{\prime \prime}(x, y)$在区域$D$内连续，则在区域$D$内恒有
     $$f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=f_{y x}^{\prime \prime}(x, y) .$$

全微分

1. 定义
   • 若$\Delta z=f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho)$，则称函数$z={f(x, y)}$在点$\left(x_0, y_0\right)$可微，$A \Delta x+B \Delta y$称为函数$z={f(x, y)}$在点$\left(x_0, y_0\right)$的全微分，记为
     $$\mathrm{d} z=A \Delta x+B \Delta y$$
   • 以下四条等价
     $\Delta z=f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho)$；
     $\lim_{\substack{\Delta x \rightarrow0\\ \Delta y \rightarrow0}} \frac{\left[f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)\right]-[A \Delta x+B \Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0$；
     $\Delta z={f(x, y)}-f\left(x_0, y_0\right)=A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+o(\rho)$；
     $\lim_{\substack{x \rightarrow x_0\\ y \rightarrow y_0}} \frac{\left[{f(x, y)}-f\left(x_0, y_0\right)\right]-\left[A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)\right]}{\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2}}=0$。
   • 它们是函数${f(x, y)}$在点$\left(x_0, y_0\right)$处可微的等价形式，由它们都可得到${f(x, y)}$在点$\left(x_0, y_0\right)$处可微，且$f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=A, f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=B$。
2. 可微性判定
   • 必要条件：$f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$与$f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$都存在；
   • 充分条件：$f_x^{\prime}(x, y)$和$f_y^{\prime}(x, y)$在$\left(x_0, y_0\right)$连续；
   • 用定义判定：
     $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$与$f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$是否都存在?
     $\lim_{\substack{\Delta x \rightarrow0\\ \Delta y \rightarrow0}} \frac{\left[f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)\right]-\left[f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \Delta x+f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \Delta y\right]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$是否为零?
3. 计算
   • 若${f(x, y)}$可微，则$\mathrm{d} z=\frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{~d} y$。
4. 连续、可导、可微的关系
   

1. 点的
   • 连续：用通过点的任意曲面截取邻域，得到的曲线在该点连续，即在邻域上没有发生跃变
   • 一阶偏导存在：用通过点的垂直于x轴和y轴的平面截取邻域，得到的曲线的在该点可导
   • 可微：用通过点的任意曲面截取邻域，得到的曲线在该点可导，并且这些曲线在该点的切线构成一个切平面
   • 一阶偏导数连续：点的邻域上处处存在偏导，且逼近点的偏导，差值是$\rho$的无穷小量
2. 常用放缩
   $$\begin{align} & xy\le \frac{1}{2}\rho^2 \\ & \frac{ax+by}{x+y}\lt a+b\quad &x,y\gt0 \\ & \left|\frac{x}{\rho}\right|,\left|\frac{y}{\rho}\right|\le 1 \end{align}$$

第十三节 偏导数与全微分的计算

复合函数求导法

1. 设$u=u(x, y), v=v(x, y)$可导，$z={f(u, v)}$在相应点有连续一阶偏导数，则
   $$\begin{aligned} & \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}, \\ & \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} \end{aligned}$$

全微分形式不变性

1. 设$z={f(u, v)}, u=u(x, y), v=v(x, y)$都有连续一阶偏导数。则
   $$\mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z=\frac{\partial z}{\partial u} \mathrm{~d} u+\frac{\partial z}{\partial v} \mathrm{~d} v$$

隐函数求导法

1. 由一个方程所确定的隐函数
   • 设${F(x, y, z)}$有连续一阶偏导数，$F_z^{\prime} \neq0, z=z(x, y)$由${F(x, y, z)}=0$所确定。
   • 公式：$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime}}{F_z^{\prime}}, \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime}}{F_z^{\prime}}$；
   • 等式两边求导：$F_x^{\prime}+F_z^{\prime} \frac{\partial z}{\partial x}=0, F_y^{\prime}+F_z^{\prime} \frac{\partial z}{\partial y}=0$；
   • 利用微分形式不变性：$F_x^{\prime} \mathrm{d} x+F_y^{\prime} \mathrm{d} y+F_z^{\prime} \mathrm{d} z=0$。
2. 由方程组所确定的隐函数（数三不做要求）

1. 求某一点的某个变量偏导，可以把另一个变量直接带入，再求偏导
   $$\left .\frac{\partial z(x,y)}{\partial x}\right|_{(a,b)}=\left.\frac{\mathrm{d} z(x,b)}{\mathrm{d} x}\right|_{x=a}$$
2. 已知偏导数求原函数
   $$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}=g(x,y,z)\Leftrightarrow f(x,y,z)=\int g(x,y,z)\mathrm{d} x +\phi(y) + \varphi(z)$$
3. 变上限积分的全微分
   $$\mathrm d \int_{\phi(x,y,z)}^{\varphi(x,y,z)}f(t) \mathrm dt = f(\phi(x,y,z))\mathrm d\phi(x,y,z)+f(\varphi(x,y,z))\mathrm d\varphi(x,y,z)$$
4. 隐函数二阶导
   $$\begin{align} \frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm d x^2} &= \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\right)=\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left(-\frac{F_x^\prime}{F_y^\prime}\right) \\ & = -\frac{\left(F_{x x}^{\prime\prime}+F_{x y}^{\prime\prime}y^{\prime}\right)F_y^{\prime}-F_x^{\prime}\left(F_{y x}^{\prime\prime}+F_{y y}^{\prime\prime}y^{\prime}\right)}{\left(F_y^\prime\right)^2} \\ & = -\frac{\left(F_{x x}^{\prime\prime}+F_{x y}^{\prime\prime}\left(-\frac{F_x^\prime}{F_y^\prime}\right)\right)F_y^{\prime}-F_x^{\prime}\left(F_{y x}^{\prime\prime}+F_{y y}^{\prime\prime}\left(-\frac{F_x^\prime}{F_y^\prime}\right)\right)}{\left(F_y^\prime\right)^2} \\ & = -\frac{F_{x x}^{\prime\prime}\left(F_y^\prime\right)^2-F_{x y}^{\prime\prime}F_x^\prime F_y^\prime-F_{yx}^{\prime\prime}F_x^\prime F_y^\prime+F_{y y}^{\prime\prime}\left(F_x^\prime\right)^2}{\left(F_y^\prime\right)^3} \end{align}$$
5. 多元函数高阶全微分
   $$\begin{align} \mathrm d^2 F(x,y) &= \left(\mathrm d x\frac{\partial}{\partial x} + \mathrm d y\frac{\partial}{\partial y}\right)^2F \\ &= \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\mathrm d x^2+ \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}\mathrm d x \mathrm d y + \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}\mathrm d y^2 \\ \mathrm d^n F(x,y,z) &= \left(\mathrm d x\frac{\partial}{\partial x} + \mathrm d y\frac{\partial}{\partial y} + \mathrm d z\frac{\partial}{\partial z}\right)^nF \end{align}$$
6. 多元复合函数全微分
   $$\mathrm df=\sum f^\prime_i \mathrm d_i$$
   • 如$\mathrm df\left[\phi(x,y),\varphi(xy)\right]=f^\prime_1\mathrm d\phi(x,y)+f^\prime_2\mathrm d\varphi(xy)=f^\prime_1\left[\phi^\prime_1 \mathrm d x+\phi^\prime_2 \mathrm d y\right]+f^\prime_2\varphi^\prime(x\mathrm dy+y\mathrm dx)$
7. 多元复合函数偏微分
   $$\frac{\partial }{\partial \theta}f=\sum f^\prime_i \frac{\partial_i}{\partial \theta}$$
   • 如$\frac{\partial }{\partial x}f\left[\phi(x,y),\varphi(xy)\right]=f^\prime_1\frac{\partial}{\partial x}\phi(x,y)+f^\prime_2\frac{\partial}{\partial x}\varphi(xy)=f^\prime_1\phi^\prime_1+f^\prime_2\varphi^\prime y$

第十四节 极值与最值

无条件极值

1. 设函数$z={f(x, y)}$在点$P\left(x_0, y_0\right)$的某邻域内有定义，若对该邻域内任意的点$P(x, y)$均有
   $$\left.{f(x, y)} \le f\left(x_0, y_0\right) \text { (或} {f(x, y)} \ge f\left(x_0, y_0\right)\right)$$
   则称$\left(x_0, y_0\right)$为${f(x, y)}$的极大值点（或极小值点）；称$f\left(x_0, y_0\right)$为${f(x, y)}$的极大值（或极小值）。极大值点和极小值点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值
2. （极值的必要条件）设$z={f(x, y)}$在点$\left(x_0, y_0\right)$存在偏导数，且$\left(x_0, y_0\right)$为${f(x, y)}$的极值点，则
   $$f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0, \quad f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0.$$
3. （极值的充分条件）设$z={f(x, y)}$在点$P_0\left(x_0, y_0\right)$的某邻域内有二阶连续偏导数，又$f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$。记
   $$A=f_{x x}^{\prime \prime}\left(x_0, y_0\right), B=f_{x y}^{\prime \prime}\left(x_0, y_0\right), C=f_{y y}^{\prime \prime}\left(x_0, y_0\right) \text {. }$$
   则有下述结论
   • 若$A C-B^2\gt 0$，则$\left(x_0, y_0\right)$为${f(x, y)}$的极值点
     （1）$A\lt 0$，则$\left(x_0, y_0\right)$为${f(x, y)}$的极大值点
     （2）$A\gt 0$，则$\left(x_0, y_0\right)$为${f(x, y)}$的极小值点
   • 若$A C-B^2\lt 0$，则$\left(x_0, y_0\right)$不为${f(x, y)}$的极值点
   • 若$A C-B^2=0$，则$\left(x_0, y_0\right)$可能为${f(x, y)}$的极值点，也可能不为${f(x, y)}$的极值点（此时一般取两条特殊路径或用定义判定）。
4. 求具有二阶连续偏导数二元函数$z={f(x, y)}$极值的一般步骤：
   • 求出${f(x, y)}$的驻点$P_1, \cdots, P_k$。
   • 利用极值的充分条件判定驻点$P_i$是否为极值点

条件极值及拉格朗日乘数法

1. 求$z={f(x, y)}$在条件$\varphi(x, y)=0$下的条件极值的一般方法为：
   • 构造拉格朗日函数${F(x, y, \lambda)}={f(x, y)}+\lambda \varphi(x, y)$；
   • 将${F(x, y, \lambda)}$分别对$x, y, \lambda$求偏导数，构造方程组
     $$\left\{\begin{array}{l} f_x^{\prime}(x, y)+\lambda \varphi_x^{\prime}(x, y)=0, \\ f_y^{\prime}(x, y)+\lambda \varphi_y^{\prime}(x, y)=0, \\ \varphi(x, y)=0. \end{array}\right.$$
   • 解出$x, y$及$\lambda$，则其中$(x, y)$就是函数${f(x, y)}$在条件$\varphi(x, y)=0$下的可能的极值点。
2. 以上方法可推广到对于$n$元函数在$m$个约束条件下的极值问题
   • 如求$u={f(x, y, z)}$在条件$\varphi(x, y, z)=0, \psi(x, y, z)=0$下的极值，构造拉格朗日函数
     $${F(x, y, z, \lambda, \mu)}=f+\lambda \varphi+\mu \psi \text {. }$$
   • 将$F$对$x, y, z, \lambda, \mu$分别求偏导数，并构造方程组
     $$\left\{\begin{array}{l} f_x^{\prime}(x, y, z)+\lambda \varphi_x^{\prime}(x, y, z)+\mu \psi_x^{\prime}(x, y, z)=0, \\ f_y^{\prime}(x, y, z)+\lambda \varphi_y^{\prime}(x, y, z)+\mu \psi_y^{\prime}(x, y, z)=0, \\ f_z^{\prime}(x, y, z)+\lambda \varphi_z^{\prime}(x, y, z)+\mu \psi_z^{\prime}(x, y, z)=0, \\ \varphi(x, y, z)=0, \\ \psi(x, y, z)=0. \end{array}\right.$$
   • 解出$x, y, z, \lambda$及$\mu$，则其中$(x, y, z)$就是可能的极值点。
3. 对于实际问题，如果驻点唯一，且由实际意义知问题存在最大（小）值，则该驻点即为最大（小）值点。如果存在多个驻点，且由实际意义知道问题既存在最大值也存在最小值，只需比较各驻点处的函数值，最大的则为最大值，最小的则为最小值。

最大最小值

1. 求连续函数f(x,y)在有界闭域D上的最大最小值三部曲
   • 求f(x,y)在D内部可能的极值点
   • 代入边界条件消元，求f(x,y)在D的边界上的最大最小值
   • 比较

第十五节 二重积分

二重积分的概念

1. 设函数$z={f(x, y)}$在有界闭区域$D$上有界，将$D$任意分成$n$个小闭区域
   $$\Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2, \cdots, \Delta \sigma_n,$$
   其中$\Delta \sigma_i$表示第$i$个小区域，也表示它的面积。在每个$\Delta \sigma_i$上任取一点$\left(\xi_i, \eta_i\right)$，作乘积$f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i$，并求和$\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i$。记$\lambda$为$n$个小区域$\Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2, \cdots, \Delta \sigma_n$中的最大直径，如果$\lim_{\lambda \rightarrow0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i$存在，则称此极限值为函数${f(x, y)}$在区域$D$上的二重积分，记为
   $$\iint_D {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma=\lim_{\lambda \rightarrow0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta \sigma_i$$

二重积分的几何意义

1. 二重积分$\iint_D {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma$是一个数。当${f(x, y)} \ge0$时，其值等于以积分域$D$为底，以曲面$z={f(x, y)}$为曲顶的曲顶柱体的体积。

二重积分的性质

1. 不等式性质
   • 若在$D$上${f(x, y)} \le g(x, y)$，则$\iint_D {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma \le \iint_D g(x, y) \mathrm{d} \sigma$。
   • 若${f(x, y)}$在$D$上连续，则$m S \le \iiint_D {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma \le M S$，其中$m$和$M$分别为${f(x, y)}$在$D$上的最小值和最大值，$S$为积分域$D$的面积。
   • $\left|\iint_D {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma\right| \le \iint_D|{f(x, y)}| \mathrm{d} \sigma$。
2. 积分中值定理
   • 若${f(x, y)}$在$D$上连续，则$\iint {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma={f(\xi, \eta)} S$，其中$(\xi, \eta) \in D, S$为积分域$D$的面积。

二重积分的计算

1. 利用直角坐标计算
   • 先$y$后$x$
     若积分域$D$是$X$型区域，即积分域$D$可以用不等式$y_1(x) \le y \le y_2(x), a \le x \le b$来表示（如图），则
     $$\iint_D {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} {f(x, y)} \mathrm{d} y .$$
     
   • 先$x$后$y$
     若积分域$D$是$Y$型区域，即积分域$D$可以用不等式$x_1(y) \le x \le x_2(y), c \le y \le d$来表示（如图），则
     $$\iint_D {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma=\int_c^d \mathrm{~d} y \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} {f(x, y)} \mathrm{d} x .$$
     

     2.利用极坐标计算

   • 先$r$后$\theta$
     若积分域$D$可以用不等式$r_1(\theta) \le r \le r_2(\theta), \alpha \le \theta \le \beta$，来表示（如图），则
     $$\iint_D {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma=\int_a^\beta \mathrm{d} \theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} {f(r \cos \theta, r \sin \theta)} r \mathrm{~d} r .$$
     
   • 适合用极坐标计算的二重积分的特征。
     适合用极坐标计算的被积函数：
     $$f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right), f\left(\frac{y}{x}\right), f\left(\frac{x}{y}\right) .$$
     适合用极坐标的积分域：
     如$x^2+y^2\le R^2; r^2\le x^2+y^2\le R^2; x^2+y^2\le2a x ; x^2+y^2\le2b y$。
2. 利用对称性和奇偶性计算
   • 若积分域$D$关于$y$轴对称，${f(x, y)}$关于$x$有奇偶性，则：
     $$\iint_D {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma=\left\{\begin{array}{cc} 2\iint_{D_{x \geq0}} {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma, & {f(-x, y)}={f(x, y)}, \\ 0, & {f(-x, y)}=-{f(x, y)} . \end{array}\right.$$
   • 若积分域$D$关于$x$轴对称，${f(x, y)}$关于$y$有奇偶性，则
     $$\iint_D {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma=\left\{\begin{array}{cc} 2\iint_{D_{y \ge0}} {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma, & {f(x,-y)}={f(x, y)}, \\ 0, & {f(x,-y)}=-{f(x, y)} . \end{array}\right.$$
3. 利用变量对称性计算
   • 二重积分$\iint_D {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma$的积分域$D$是点$(x, y)$的集合，记为$D_{(x, y)}$，类似一元定积分的值与积分变量用什么记号无关，则
     $$\iint_{D_{(x, y)}} {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma=\iint_{D_{(y, x)}} {f(y, x)} \mathrm{d} \sigma$$
     即把二重积分的被积函数${f(x, y)}$及积分域$D_{(x, y)}$中的$x$和$y$对调，积分值不变。例如，
     $$\iint_{x^2+2y^2\le1}\left(3x^2+4y^2\right) \mathrm{d} \sigma=\iint_{y^2+2x^2\le1}\left(3y^2+4x^2\right) \mathrm{d} \sigma$$
   • 如果积分域$D$关于直线$y=x$对称，即$(x, y) \in D \Leftrightarrow(y, x) \in D$，如图，此时$D_{(x, y)}=$$D_{(y, x)}$，则
     $$\iint_D {f(x, y)} \mathrm{d} \sigma=\iint_D {f(y, x)} \mathrm{d} \sigma$$
     

     即当积分域$D$关于直线$y=x$对称时，将被积函数${f(x, y)}$中的$x$和$y$对调，积分值不变。

1. 积分域转换
   • 令$u=\phi(x,y),v=\psi(x,y)$，将原积分域$D_{xy}$映射成$D_{uv}$，令$x=\Phi(u,v),y=\Psi(u,v)$，则
     $$\iint_{D_{xy}}f(x,y)\mathrm d x \mathrm d y=\iint_{D_{uv}}f(\Phi(u,v),\Psi(u,v))\left | \begin{vmatrix}\Phi_u^\prime & \Phi_v^\prime\\\Psi_u^\prime & \Psi_v^\prime\end{vmatrix}\right | \mathrm d u \mathrm d v$$
   • 交换$x,y$、改变$x$或$y$符号、加减常数时，雅阁比行列式绝对值为1
   • 改变坐标原点到$(a,b)$：$\iint_{D^\prime}f(x+a,y+b)\mathrm d x \mathrm d y$
2. 化为$\int \mathrm d x\int f(x)\mathrm d y = \int\left[\int f(x)\mathrm d y\right] \mathrm d x$从而分部积分
3. 改变积分域中有限个点的函数值，不影响可积性和积分结果

第十六节 常数项级数

级数的概念与性质

1. 级数的概念
   • 设$\left\{u_n\right\}$是一数列，则表达式$\sum_{n=1}^{\infty} u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$称为无穷级数，简称级数。$S_n=\sum_{i=1}^n u_i$称为级数的部分和。
   • 若部分和数列$\left\{S_n\right\}$有极限$S$，即$\lim_{n \rightarrow \infty} S_n=S$，则称级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，并称这个极限值$S$为级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$的和，记为$\sum_{n=1}^{\infty} u_n=S$。如果极限$\lim_{n \rightarrow \infty} S_n$不存在，则称级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$发散。
2. 级数的性质
   • 若级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛于$S$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} k u_n$也收敛，且其和为$k S$。
   • 若$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$分别收敛于$S, \sigma$，则$\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)$收敛于$S \pm \sigma$。
     若$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)$必发㪚；
     若$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$都发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)$敛散性不定。
   • 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。
   • 收敛级数加括号仍收敛且和不变
     若级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛，除非$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=0$
     若级数加括号认后发散，则原级数一定发散

     证明$S_{2n}$收敛、$a_{2n+1}\rightarrow 0$，则$S_{2n+1}=S_{2n}+a_{2n+1}$收敛，从而$S_n$收敛

   • （级数收敛的必要条件）若级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，则$\lim_{n \rightarrow \infty} u_n=0$。
     若$\lim_{n \rightarrow \infty} u_n=0$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$不一定收敛
     若$\lim_{n \rightarrow \infty} u_n \neq0$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$一定发散

级数的审敛准则

正项级数

$$\left(\sum_{n=1}^{\infty} u_n, u_n \ge0\right)$$
基本定理$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛$\Leftrightarrow S_n$有界。

1. 比较判别法：
   • 设$u_n \le v_n$，则$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$收敛$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛； $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$发散$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} v_n$发散。
2. 比较法极限形式：
   • 设$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u_n}{v_n}=l(0\le l \le+\infty)$ ，
   • 若$0\lt l\lt +\infty$，则$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$与$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$同敛散；
   • 若$l=0$，则$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$收敛$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛， $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$发散$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} v_n$发散；
   • 若$l=+\infty$，则$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$发散$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} u_n$发散， $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} v_n$收敛。
   • 使用比较法和比较法的极限形式时，需要适当的选择一个已知其散敛性的级数作为较的基准。最常用的是$p$级数和等比级数
     $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$当$p\gt 1$时收敛，当$p \le1$时发散。
     $\sum_{n=1}^{\infty} a q^n$当$q\lt 1$时收敛，当$q \ge1$时发散，其中$a$和$q$为正数
   • 非正项级数时，对条件收敛不成立，如$\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$收敛但$\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}$发散；但对绝对收敛一定成立且为绝对收敛
3. 比值法：
   • 若$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，则$\sum_{n=1}^{\infty} u_n\left\{\begin{array}{cc}\text {收敛, } & \rho\lt 1, \\ \text {发散, } & \rho\gt 1, \\ \text {不一定, } & \rho=1.\end{array}\right.$
   • 若比值极限不为零，根据保号性可以得到数列同号，从而也能使用该方法
4. 根值法：
   • 若$\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=\rho$，则$\sum_{n=1}^{\infty} u_n \begin{cases}\text {收玫, } & \rho\lt 1, \\ \text {发散, } & \rho\gt 1, \\ \text {不一定, } & \rho=1.\end{cases}$
5. 积分判别法：
   • 设${f(x)}$是$[1,+\infty)$上单调减，非负的连续函数，且$a_n={f(n)}$，则$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$与$\int_1^{+\infty} {f(x)} \mathrm{d} x$同敛散。

交错级数

$$\left(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n, u_n\gt 0\right)$$

1. 莱布尼茨准则：若（1）$u_n$单调减； （2）$\lim_{n \rightarrow \infty} u_n=0$，则$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n$收敛。
2. $\left\{u_n\right\}$单调减，$\lim_{n \rightarrow \infty} u_n=0$是级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n$收敛的充分条件，但非必要条件。如交错级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n+(-1)^n}}$收敛，但$u_n=\frac{1}{2^{n+(-1)^n}}$并不单调递减
   • 分母有理化拆成两个级数判断
   • 提一个p级数，对剩余部分泰勒展开到乘积绝对收敛

任意项级数

$$\left(\sum_{n=1}^{\infty} u_n, u_n \text {为任意实数 }\right)$$

1. 绝对收敛与条件收敛概念
   • 若级数$\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$必收敛，此时称级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$绝对收敛；
   • 若级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，但$\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$发散，此时称级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$条件收敛。
2. 绝对收敛和条件收敛的基本结论
   • 绝对收敛的级数一定收敛，即$\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$收敛$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛；
   • 条件收敛的级数的所有正项（或负项）构成的级数一定发散。
     即$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$条件收敛$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n+\left|u_n\right|}{2}$和$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n-\left|u_n\right|}{2}$发散。
     

第十七节 幂级数

收敛半径、收敛区间、收敛域

1. 形如
   $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots$$
   或者
   $$\quad \sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n=a_0+a_1\left(x-x_0\right)+\cdots+a_n\left(x-x_0\right)^n+\cdots$$
   的函数项级数称为幂级数。
2. 阿贝尔定理
   • 若$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$当$x=x_0\left(x_0\neq0\right)$时收敛，则当$|x|\lt \left|x_0\right|$时，$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$绝对收敛；
   • 若$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$当$x=x_0$时发散，则当$|x|\gt \left|x_0\right|$时，$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$发散。
3. 幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$的收敛性有且仅有以下三种可能：
   • 对任何$x \in(-\infty,+\infty)$都收敛；
   • 仅在$x=0$处收敛；
   • 存在一个正数$R$，当$|x|\lt R$时绝对收敛，当$|x|\gt R$时发散。
4. 中的正数$R$称为幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$的收敛半径。开区间$(-R, R)$称为它的收敛区间。再考察$x= \pm R$时$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$的收敛性，可得出该级数收敛点的全体，称之为收敛域
   • 收敛级数的和的收敛域，等于各自收敛域的并集
   • 积分只可能扩大收敛域，求导只可能缩小收敛域
5. 如果$\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$，则$R=\frac{1}{\rho}$。
6. 如果$\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\rho$，则$R=\frac{1}{\rho}$。

幂级数的性质

1. 有理运算性质
   设幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$的收敛半径为$R_1, \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$的收敛半径为$R_2$，令$R=\min \left\{R_1, R_2\right\}$，则有
   • 加法：$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n+\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n+b_n\right) x^n, \quad x \in(-R, R)$。
   • 减法：$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n-\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n-b_n\right) x^n, \quad x \in(-R, R)$。
   • 乘法：$\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right) \cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\right)=a_0b_0+\left(a_0b_1+a_1b_0\right) x+\left(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0\right) x^2+\cdots+\left(a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_n b_0\right) x^n+\cdots, \quad x \in(-R, R)$
   • 除法：$\frac{\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}{\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n}=\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n, \quad x \in(-R, R)$。
     其中系数$c_n(n=0,1,2\cdots)$由$\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\right) \cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n\right)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$所确定。
2. 分析性质
   设幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$的收敛半径为$R$，和函数为$S(x)$，则
   • 连续性：$S(x)$在收敛域上连续，如果有无定义点要补充定义
   • 可导性：$S(x)$在收敛区间$(-R, R)$内可导，且可逐项求导，即
     $$S^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n x^n\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} \text {, }$$
     求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径。
   • 可积性：$S(x)$在收敛域上可积，且可逐项积分，即
     $$\int_0^x {f(t)} \mathrm{d} t=\int_0^x \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x a_n t^n \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} a_n x^{n+1},$$
     积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径，注意常数项不一定为零

函数的幂级数展开

1. 设函数${f(x)}$在区间$\left(x_0-R, x_0+R\right)$上有定义，若
   $${f(x)}=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$$
   对任意的$x \in\left(x_0-R, x_0+R\right)$都成立，则称函数${f(x)}$在区间$\left(x_0-R, x_0+R\right)$上能展开为$x-x_0$的幂级数。
2. 由幂级数的性质可知，如果函数${f(x)}$在区间$\left(x_0-R, x_0+R\right)$上能展开为$x-x_0$的幂级数，那么，${f(x)}$在区间$\left(x_0-R, x_0+R\right)$上任意阶可导
3. 如果函数${f(x)}$在区间$\left(x_0-R, x_0+R\right)$上能展开为$x-x_0$的幂级数
   $${f(x)}=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$$
   那么，${f(x)}$在区间$\left(x_0-R, x_0+R\right)$上任意阶可导，且其展开式是唯一的，
   $$a_n=\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}(n=0,1,2, \cdots) \text {. }$$
4. 若函数${f(x)}$在$x=x_0$处任意阶可导，则称幂级数
   $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n$$
   为${f(x)}$在$x=x_0$处的泰勒级数。
   特别地，$x_0=0$处的泰勒级数$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^n$称为函数${f(x)}$的麦克劳林级数。
5. 设${f(x)}$在$x=x_0$处任意阶可导，则$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n$在$\left(x_0-R, x_0+R\right)$上收敛于${f(x)} \Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} R_n(x)=0$，其中$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1}$为${f(x)}$在$x_0$处的泰勒公式
   $${f(x)}=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k !}\left(x-x_0\right)^k+R_n(x)$$
   中的余项。
6. 几个常用的展开式
   • 无穷小
     $$\begin{align} &\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} x^n\quad &(-1\lt x\lt 1)\\ &\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x\quad &(-1\lt x\lt 1)\\ &(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^n\quad& (-1\lt x\lt 1)\\ &\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}\quad &(-\infty\lt x\lt +\infty)\\ &\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} \quad&(-1\lt x \le1)\\ &\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1) !} \quad&(-\infty\lt x\lt +\infty)\\ &\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n) !} \quad&(-\infty\lt x\lt +\infty)\\ &\tan x=x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15} x^5+\frac{17}{315} x^7+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}4^n\left(4^n-1\right)}{(2n) !} x^{2n-1}\quad&(-1\lt x\lt 1)\\ &\arcsin x=x+\frac{1^2}{3!} x^3+\frac{1^23^2}{5!} x^5+\frac{1^23^25^2}{7!} x^7+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\quad&(-1\lt x\lt 1)\\ &\arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\quad&(-1\lt x\lt 1)\\ &\arctan x=x-\frac{1}{3} x^3+\frac{1}{5} x^5+\cdots-\frac{1}{7}x^7=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad&(-1\le x\le 1)\\ &(1+x)^{\frac{1}{x}}=e(1-\frac{1}{2}x+\frac{11}{24}x^2-\frac{7}{16}{x^3}+\frac{2447}{5760}x^4+\cdots)\\ &\ln(\sqrt{1+x^2}+x)=x-\frac{1^2}{3!} x^3+\frac{1^23^2}{5!} x^5-\frac{1^23^25^2}{7!} x^7+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\quad&(-1\le x\le 1)\\ &\ln(\sqrt{1+x^2}-x)=-x+\frac{1^2}{3!} x^3-\frac{1^23^2}{5!} x^5+\frac{1^23^25^2}{7!} x^7+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\quad&(-1\le x\le 1)\\ \end{align}$$
   • 无穷大
     $$\begin{align} &(x+a)^p=x^p+apx^{p-1}+\cdots\quad&\\ \\ &\sum_{n=1}^{x}n^p=\frac{1}{p+1}x^{p+1}+\frac{1}{2}x^p+\cdots\quad&(p\gt -1)\\ \end{align}$$

函数展开为幂级数的两种方法

1. 直接展开法
   直接展开法分以下两步进行：
   • 求出${f(x)}$在$x_0$处的各阶导数$f^{(n)}\left(x_0\right)$，并写出${f(x)}$在$x=x_0$处的泰勒级数${f(x)} \sim \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n$；
   • 考察$\lim_{n \rightarrow \infty} R_n(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1}=0$是否成立。
2. 间接展开法
   根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开式出发，利用幂级数的性质（四则运算，逐项求导，逐项积分）及变量代换等方法，求得所给函数的展开式。

导函数不等式证明

1. $x\in (a,b)$，求关于$f(c)$的不等式
   • 展开$f(x)=f(c)+f^\prime(x)(x-c)+\cdots$，代入$x=a,x=b$
   • 作差得到关于$c,f(a),f(b),f^{\prime}(c),\cdots,f^{(n)}(c),f^{(n+1)}(\xi_1),f^{(n+1)}(\xi_2)$的等式$\quad(a\lt \xi_1\lt c\lt \xi_2\lt b)$
2. $x\in (a,b)$，求关于$f(x)$的不等式
   • 展开$f(x)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f^\prime\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)+\cdots$，代入$x=a,x=b$
   • 作差得到关于$\frac{a+b}{2},f(a),f(b),f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right),\cdots,f^{(n)}\left(\frac{a+b}{2}\right),f^{(n+1)}(\xi_1),f^{(n+1)}(\xi_2)$的等式$\quad(a\lt \xi_1\lt \frac{a+b}{2}\lt \xi_2\lt b)$
3. 常用放缩
   • $c\in(0,1),c^{n}+(1-c)^{n}\le c+1-c=1$

第十八节 附录

特殊函数的图像

1. $f(x)=\left|x\right|^{x}-1$
   
   • $lim_{x\rightarrow \pm 1,0}f(x)=xln|x|$
2. $f(x)=x^{x}-1$
   
   • $lim_{x\rightarrow 0,1}f(x)=xlnx$
3. $\ln\left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)$
   
4. $\ln\left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)$
   
5. $f(x)=a^x\quad(a\lt0)$
   
   • 负数的无理数次幂或p/q(p奇q偶)次幂无意义。
   • 负数的p/q(p奇q奇)次幂是负数，等价于$-(-a)^x$。
   • 负数的p/q(p偶q奇)次幂是正数，等价于$(-a)^x$
6. $f(x)=x^a$
   
   • $a$的正负决定正半轴是增函数还是减函数
   • 负半轴图像有三种情况：
     当$a$为无理数或为p/q(p奇q偶)，负半轴图像不存在
     当$a$为p/q(p奇q奇)，负半轴图像与正半轴图像关于原点对称
     当$a$为p/q(p偶q奇)，负半轴图像与正半轴图像关于y轴对称

其它

1. 但凡写函数都要写定义域
2. 引入可能为0的分子时要分类讨论
3. 移入根号内时，分正负两种情况讨论
4. 积分有没有加常数，对数要不要加绝对值
5. 注意分数次方有没有产生绝对值
6. 三角函数的反函数
   • $\sin x$：只有$x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$时反函数才是$\arcsin x$
     $\cos x$：只有$x\in(0,\pi)$时反函数才是$\arccos x$
     $\tan x$：只有$x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$时反函数才是$\arctan x$
   • 若经过$x=x_0$对称可以映射到有效定义域，则反函数为$2x_0-f^{-1}(x)$
     若左移$x_0$可以映射到有效定义域，则反函数为$x_0+f^{-1}(x)$
7. 求微分方程
   • 如果有绝对值，分段求原函数
   • 如果除以了可能为0的数，分析为零时的解补充定义
8. 偏导不为零则存在对应的隐函数