金融工程

第一章 金融工程概述

金融工程基本概念

金融工程的影响

1. 创造出新产品，为投资和套利提供便利
2. 更具准确性、时效性和灵活性的低成本风险管理，推动现代风险度量技术发展，有利于风险预防对冲
3. 新产品的高杠杆会放大市场风险和波动
4. 衍生品市场的作用：套期保值、价格发现、投机套利

衍生品市场的参与者

1. 套期保值者
   • 在现货市场有一定的风险暴露，通过衍生证券的相反头寸进行风险管理
   • 是衍生证券市场产生和发展的原动力
2. 套利者
   • 认为现货价格与衍生证券价格间存在不合理的相对关系，从事套利活动获取无风险或低风险收益
   • 推动现货价格与衍生品价格向合理关系转变
3. 投机者
   • 单纯进入衍生市场，根据自己的预期进行高杠杆性质操作，通过承担风险获取相应收益
   • 为套期保值者和套利者提供流动性

金融工程定价

绝对定价法

1. 根据未来现金流特征，运用恰当贴现率将未来现金流贴现为现值，就是证券的合理价格
   • 优点：直观，便于理解，普遍适用
   • 缺点：未来现金流、合适的贴现率难以确定

相对定价法

1. 利用标的资产和衍生证券价格的相关关系，根据标的资产价格求出衍生证券价格
   • 不关心标的资产价格的确定，假定其为外生的
   • 优点：没有风险偏好等主观变量，容易测度；贴近市场，一旦与市场价格不符可以进行无风险套利消除价差
   • 典型代表：BSM期权定价模型
   • 包括复制定价法、风险中性定价法、状态价格定价法
2. 复制定价法
   • 前提：无套利、可复制
     套利：利用市场存在的价格差异，在没有任何风险且无需自有资金的情况下获取非负利润
     可复制：一种资产的现金流可以有其它资产组合的现金流的带，所有资产可复制的时间称为完美世界
   • 定价原理：用一组证券复制另一组证券，两者现金流完全一致，则两者价格相等
   • 严格的无套利机制特征
     无风险：套利活动在无风险状态进行
     可复制：对象必须是冗余证券，可以有其它证券组合复制现金流
     零投资：金融市场要允许无限制卖空
3. 风险中性定价法
   • 原理
     投资者风险中性，期望收益率都为无风险利率
     不存在风险报酬，贴现率都为无风险利率
     证券的盈亏经过无风险贴现的现值就是价格
     无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅
   • 注意事项
     只适用于完全市场（线性独立证券的数量大于等于未来可能发生的状态的市场）
     无风险利率和标的股票价格已知，未来股票价格只有两种状态
     期权价格与现实世界中涨跌概率无关，即与投资者风险偏好无关
   • 风险中性定价法本质上与复制定价法具有内在一致性
4. 状态价格定价法
   • 状态价格：特定状态时价格为1否则为0的资产在当前的价格，此类资产被称为基本证券
   • 基本思路：利用可交易资产计算状态价格，再利用状态价格计算期权价格
   • 注意事项
     相当于复制定价法，要求不存在套利机会和可复制
     决定基础证券价格的只有无风险利率和可能回报，与股票涨跌概率无关

假设3个月的无风险连续复利年利率等于10%，一种不支付红利的股票A目前价格为10元，假设我们知道在三个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。计算一份3个月期行权价格为10.5元的A股票欧式看涨期权的价值

1. 复制定价法
   用一份看涨期权空头和\Delta份股票多头组成组合
   若三个月后股票价格为11，获得11\Delta-0.5的现金流；若三个月后股票价格为9，获得9\Delta
   联立的得\Delta =0.25时，三个月后获得的现金流恒为2.25
   无风险组合只能获得无风险利率的收益，因此
   \begin{align} & 2.25e^{-10\%\times 0.25}=10\times 0.25-f\\ & f=0.31 \end{align}
2. 风险中性定价法
   假设股票价格上升的概率为P，根据风险中性原理
   \begin{align} & e^{-10\%\times 0.25}[11P+9(1-P)]=10\\ & P=0.6266 \end{align}\\ \therefore f=e^{-10\%\times 0.25}(0.5\times 0.6266+0)=0.31
3. 状态价格定价法
   设上升状态价格为\pi_u，下跌价格为\pi_d
   股票可以由11份基本证券1和9份基本证券2复制、无风险资产可以由1份基本证券1和2复制
   \begin{align} &11\pi_u+9\pi_d=10 \\ &\pi_u+\pi_d=e^{-10\%\times 0.25} \\ &\pi_u=0.63,\pi_d=0.35 \end{align}
   市场状态为u时期权才有收益，为0.5，因此期权价格为0.5\times \pi_u=0.31

积木分析法

1. 也叫模块分析法，将各种金融工具进行拆分组合，解决金融问题
2. 重要工具：金融产品回报图，损益图

衍生品定价基本假设

1. 无摩擦，没有交易成本、保证金、卖空现值
2. 不承担对手风险，没有违约问题
3. 完全竞争，市场参与者是价格接受者
4. 市场参与者厌恶风险，希望财富越多越好
5. 不存在无风险套利机会

第二章 远期与期货概述

远期与远期市场

金融远期合约的定义

1. 指双方约定在未来的某一确定时间，按确定的价格、按特定的交易方式来交易某种金融资产的合约。
2. 在合约中，未来将买入标的物的一方称为多方，未来将卖出标的物的一方为空方
3. 未来买卖标的物是价格称为交割价格

主要的金融远期合约种类

1. 远期利率协议(FRA)：买卖双方同意从未来某一商定的时期开始在某一特定时期内按协议（合约）利率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的名义本金的协议，协议的执行通过支付结算金来实现。
   • 买方：名义借款者,名义上借入；卖方：名义贷款者,名义上借出。
   • 协议利率被称为远期利率
   • 表示方法：起算日至结算日\times起算日至到期日
     1\times 4远期利率：一个月之后开始的期限为三个月的远期利率
2. 远期外汇协议(FXA)：双方约定在将来某一时间按约定的远期汇率买卖一定金额的某种外汇的合约。
   • 交割时，名义本金通常不交割，只交割合同远期汇率与即期汇率的差额部分
   • 有些国家外汇管制，因此本金不可交割。这种外汇远期协议被称为本金不可交割远期(NDF)，与本金可交割单不交割远期(non-delivery forwards)是不同的
3. 远期股票合约
   • 双方约定在将来某一特定日期按特定价格交付一定数量单个股票或一揽子股票的协议。
   • 如有些公司非常看好本公司未来的股价走势，为向市场传达对本公司的信心，承诺在未来某个日期按某个协议价格（高于交易达成时的股票价格）买回本公司的股票

远期合约的交易机制

1. 分散的场外交易
   • 交易主要是私下进行的，基本不受监管当局监管
2. 非标准化合约
   • 优点：
     量身定制、灵活性较大
     在签署远期合约之前，双方可以就交割地点、交割时间、交割价格、合约规模、标的物的品质等细节进行谈判，以便尽量满足双方的需要
     比较容易规避监管
   • 缺点：
     远期合约没有固定的、集中的交易场所，不利于信息交流和传递，不利于形成统一的市场价格，市场效率较低
     远期合约的流动性较差
     远期合约的履约没有保证，当价格变动对一方有利时，对方有可能无力或无诚意履行合约，因此远期合约的违约风险较高

期货与期货市场

金融期货合约

1. 定义
   • 在交易所交易的、协议双方约定在将来某个日期按事先确定的条件（包括交割价格、交割地点和交割方式等）买人或卖出一定标准数量的特定金融工具的标准化协议
   • 合约中未来将买入标的物的一方称为多方，而在未来卖出标的物的一方称为空方。
2. 种类
   • 股票指数期货：以特定股票指数为标的资产的期货合约
   • 外汇期货：以货币作为标的资产，如美元、英镑、日元、澳元和加元等
   • 利率期货：指标的资产价格依赖于利率水平的期货合约，如欧洲美元期货和长期国债期货等
3. 集中交易与统一清算
   • 交易所：提供交易场地或交易平台，制定标准交易规则，负责监督和执行交易规则，制定标准的期货合同，解决交易纠纷
     非营利性的会员制、公司制
     只有取得交易所会员资格才能进入交易所交易，非会员则只能通过会员代理进行交易
     期货交易所本身不参加期货交易
   • 清算机构：对期货交易所内交易的期货合约进行交割、清算和结算操作的独立机构，是期货市场运行机制的核心
     可以是交易所的一个附属部门，也可以是一家独立的公司
     清算机构充当每笔交易的媒介，使得期货合约的买卖只要价格、数量匹配就可以随时进行，不用寻找和通知特定的交易对手
     清算机构每天为会员进行净头寸的集中结算和清算，成为期货交易后台支持的核心
     清算机构的充当买方的卖者和卖方的买者，既向买方保证了卖方的履约，也向卖方保证了买方的履约，极大地降低了期货交易中的违约风险
4. 标准化条款
   • 交易单位：普通合约是金额，股指期货是指数乘每点价值
   • 到期时间：在交割月或交割日实物交割或现金交割
   • 最小价格波动值
   • 每日价格波动限制与交易中止规则：如涨跌停，缓解突发事件或过度投机对市场造成的冲击
   • 交割条款：
5. 保证金制度
   • 初始保证金：交易开始前，买卖双方在经纪公司存入
   • 维持保证金：低于其时会收到保证金追加通知
   • 变动保证金：追加的保证金
   • 每日盯市结算制度：每日期货交易结束后更新保证金余额
6. 期货头寸
   • 开立头寸：买入建仓(多头)；卖出建仓(空头)
   • 结清头寸：到期交割、现金结算、平仓

远期与期货的比较

1. 交易场所不同
   • 远期：没有固定的交易场所
   • 期货：在交易所内集中交易，一般不允许场外交易
2. 标准化程度不同
   • 远期：交易遵循“契约自由”的原则，双方商定条约
   • 期货：期货交易所为各种期货合约制定了标准化条款
3. 违约风险不同
   • 远期：取决于双方信用，一方违约另一方受损
   • 期货：由交易所或清算机构提供担保，一方违约不影响另一方
4. 合约双方关系不同
   • 远期：需要调查对手方信用
   • 期货：不需要了解对手方，信息成本低
5. 价格确定方式不同
   • 远期：私下议价
   • 期货：交易所竞价或做市商报价
6. 结算方式不同
   • 远期：到期才能清算，到期前都是浮盈浮亏
   • 期货：每日清算，每日结算价格就是不断变动的期货交割价格
7. 结清方式不同
   • 远期：难以转让，通常实物交割或现金结算
   • 期货：可以到期交割或平仓，绝大多数会选择平仓

第三章 远期与期货定价

无收益资产的远期

1. 价值
   • 构建两个组合
     组合A：一份远期合约多头加上数额为Ke^{-r(T-t)}的现金
     组合B：一单位的标的资产
   • 组合A中，现金以无风险利率投资，T-t后，金额变为K，用于远期多头交割，得到一单位标的资产
     因此，在T时刻，两个组合都等于一单位标的资产，根据无套利原则，在t时刻，两组合价值相等
     \begin{align} & f+Ke^{-r(T-t)}=S\\ & f=S-Ke^{-r(T-t)} \end{align}
2. 价格
   • 远期合约的价格F就是f为0时的价格价格K
     F=K=Se^{r(T-t)}
   • 对于期货，由于逐日盯市制度，价值在收盘后归零
3. 期限结构
   描述统一标的资产不同期限远期之间的价格关系
   \begin{align} & F=Se^{r(T-t)}\\ & F^\ast=Se^{r^\ast(T^\ast-t)}\\ \therefore & F^\ast=Fe^{r^\ast(T^\ast-t)-r(T-t)} \end{align}
   • 如果利率期限结构水平则可以简化
4. 远期价格与期货价格
   • 标的资产与收益率变化正相关时，期货价格大
   • 标的资产与收益率变化负相关时，远期价格大

• 若F\gt Se^{r(T-t)}
  说明交割价偏高，因此用无风险利率借贷S，买入一份资产，卖空一份远期合约（用货换钱）
  交割时，失去一份资产，获得F的现金，收益为F-Se^{r(T-t)}
• 若F\lt Se^{r(T-t)}
  说明交割价偏低，因此卖空一份资产，获得S的现金以无风险利率投资，买入一份远期合约（用钱换货）
  交割时，失去F的现金，获得一份资产，偿还之前的卖空的资产，收益为Se^{r(T-t)}-F

已知现金收益资产的远期

1. 价值
   • 标的物在存续期间能产生收益。构建两个组合
     组合A：一份远期合约多头加上数额为Ke^{-r(T-t)}的现金
     组合B：一单位的标的资产加上数额为I的负债，等于合约现金收益折现到当下的值
   • 组合A中，现金以无风险利率投资，T-t后，金额变为K，用于远期多头交割，得到一单位标的资产
     组合B中，持有一单位标的资产，因为，资产产生的现金收益正好与负债Ie^{r(T-t)}抵消
     因此，在T时刻，两个组合都等于一单位标的资产，根据无套利原则，在t时刻，两组合价值相等
     \begin{align} & f+Ke^{-r(T-t)}=S-I\\ & f=S-I-Ke^{-r(T-t)} \end{align}
2. 价格
   • 同理可得
     F=K=(S-I)e^{r(T-t)}

• 若F\gt (S-I)e^{r(T-t)}
  说明交割价偏高，因此用无风险利率借贷S，买入一份资产，卖空一份远期合约（用货换钱）
  交割时，失去一份资产，获得F的现金，以及持有资产期间的现金收益I{e^{r(T-t)}}
  总收益为F-Se^{r(T-t)}+I{e^{r(T-t)}}
• 若F\lt (S-I)e^{r(T-t)}
  说明交割价偏低，因此卖空一份资产，获得S的现金以无风险利率投资，买入一份远期合约（用钱换货）
  交割时，失去F的现金，以及归还现金收益I{e^{r(T-t)}}，获得一份资产，偿还之前的卖空的资产，收益为Se^{r(T-t)}-F-I{e^{r(T-t)}}

已知收益率资产的远期

1. 价值
   • 标的物在存续期间能产生收益，且以收益率的形式获取收益，收益被再次用于投资。构建两个组合
     组合A：一份远期合约多头加上数额为Ke^{-r(T-t)}的现金
     组合B：e^{-q(T-t)}单位的标的资产，q为按连续复利计算的收益率
   • 组合A中，现金以无风险利率投资，T-t后，金额变为K，用于远期多头交割，得到一单位标的资产
     组合B中，资产随着红利的派发不断增加，在T时刻正好拥有一单位资产
     因此，在T时刻，两个组合都等于一单位标的资产，根据无套利原则，在t时刻，两组合价值相等
     \begin{align} & f+Ke^{-r(T-t)}=Se^{-q(T-t)}\\ & f=Se^{-q(T-t)}-Ke^{-r(T-t)} \end{align}
2. 价格
   • 同理可得
     F=K=Se^{(r-q)(T-t)}

远期价值价格的一般理论

1. 完美市场条件
   • 持有成本模型：持有成本c=保存成本u+无风险利率r-综合收益率q
     \begin{align} & f=Se^{(c-r)(T-t)}-Ke^{-r(T-t)}\\ & F=Se^{c(T-t)} \end{align}
2. 非完美市场条件下，无套利价格变成一个区间而不是具体值
   • 存在交易成本，费率为Y。无套利价格区间为
     [S(1-Y)e^{r(T-t)},S(1+Y)e^{r(T-t)}]
   • 借贷存在利差，借入利率r_b借出利率r_l，一般r_b\gt r_l。无套利价格区间为
     [Se^{r_l(T-t)},Se^{r_b(T-t)}]
   • 借贷存在卖空限制，卖空导致的成本比例为X。无套利价格区间为
     [S(1-X)e^{r(T-t)},Se^{r(T-t)}]
   • 如果三种情况同时存在，无套利价格区间为
     [S(1-X)(1-Y)e^{r_l(T-t)},S(1+Y)e^{r_b(T-t)}]
3. 消费资产的远期定价
   • 消费性资产持有期间存在便利收益，若定价过高则销量减少，但定价低时可以享受及时消费的好处提高销量，不会被纠偏
   • 因此F\le Se^{c(T-t)}

第四章 远期与期货的运用

套期保值

1. 套期保值类型
   • 多头套期保值：担心标的物价格上涨
   • 空头套期保值：担心标的物价格下跌
   • 单向套期保值：只消除不利风险，如期权
   • 双向套期保值：有利不利分析均被对冲，如期货
2. 完美与不完美的套期保值
   • 完美套期保值：到期日、标的资产、交易金额等条件完全匹配，能够完全消除价格风险
     套期保值时往往难以找到完美的合约，因此实际上仍存在一定的风险
   • 数量风险
     无法事先确定要套期保值的标的资产的规模或没有足够期货合约对冲风险
   • 基差风险
     基差指套期保值的现货价与期货价之差
     b_t=S_t-F_t
     在多头套期保值情况下，t_1到t_2时刻的收益可以表示为
     (F_{t_1}-F_{t_0})+(S_{t_0}-S_{t_1})=(S_{t_0}-F_{t_0})-(S_{t_1}-F_{t_1})=b_0-b_1
     其中当下的基差b_0已知，风险来源于b_1
     若套期保值的资产与标的资产相同，到货日期与套期保值日期一致，则根据无套利原理
     b_1=S_1-F_1=0
     不满足任何一条，都可能使得b_1波动，产生基差风险

头寸	变量	受益来源
多头套期保值	-b_1	基差减小
空头套期保值	b_1	基差增大

3. 远期（期货）套期保值策略
   • 合约的选择
     远期适合个性化需求且，没有保证金需求；期货流动性好，可以平仓，但品种少且有保证金制度
     尽量选择与套期保值的标的资产高度相关的合约品种
   • 合约到期日的选择
     尽量避免在期货到期月中持有期货头寸，因为到期月时期货的价格往往会异常波动
     在到期时间无法完全吻合的情况下，选择时间略长但尽量接近的合约，通过提前平仓的方式结清头寸
     若合约时间均短于到期时间，可以用套期保值展期的方式依次使用一系列合约进行保值
   • 合约头寸方向
     担心价格上升：多头套期保值
     担心价格下降：空头套期保值
   • 合约数量的确定
     关键是确定最优套期保值比率
4. 最优套期保值比率
   • 最大程度消除被保值对象价格变动风险
     \begin{align} & n=\rho_{S,F}\frac{\sigma_S}{\sigma_F}\\ & N=n\times \frac{Q_S}{Q_F} \end{align}
     S,F分别为现货、远期的价格，\rho_{S,F}为价格变化的相关系数，Q表示单位远期/现货的面值
     1单位现货需要N单位远期对冲
   • 不存在基差风险时，最优套期保值比率一定为1
     最优套期保值比率为1时，不一定是完美套期保值
5. 对冲有效性
   e^\ast={\rho_{S,F}^2}=n^2\frac{{\sigma_S}^2}{{\sigma_F}^2}
   • 套期保值后方差减少程度
6. 计算
   \begin{aligned} & \sigma_X =\sqrt{\frac{\sum \mathrm{x}_i{ }^2}{n-1}-\frac{\left(\sum \mathrm{x}_i\right)^2}{n(n-1)}}=0.0313 \\ & \sigma_Y =\sqrt{\frac{\sum \mathrm{y}_i{ }^2}{n-1}-\frac{\left(\sum \mathrm{y}_i\right)^2}{n(n-1)}}=0.0262 \\ & \rho_{X,Y}=\frac{\mathrm{n} \sum x_i y_i-\sum x_i \sum y_i}{\sqrt{\left[n \sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2\right]\left[\left(n \sum y_i^2-\left(\sum y_i\right)^2\right]\right.}} \end{aligned}

套利投机

具有杠杆效应

第五章 股指期货、外汇期货、利率期货与远期

股指期货

1. 股票指数
   • 运用统计学的指数方法编制而成的，反映股市中总体股价或某类股票价格变动的一种相对指标
2. 股指期货
   • 以股价指数作为标的物的期货。
   • 现金交割而不是实物交割；面值不固定，是股指期货价格的点数乘以每个指点数所代表的金额
3. 股指期货的定价
   • 看成支付已知收益率的资产
     F=Se^{(r-q)(T-t)}
   • 必须只涉及一个币种，美元计价的日经225指数期货就不满足
4. 指数套利
   • 期货价格大于理论值：期初借钱买股卖期
   • 期货价格小于理论值：期初借股买期卖股
5. 套期保值：管理股票市场的系统性风险，保值对象可以是股票、股票组合或指数组合
   \begin{align} &\text{最小方差套期保值比率} n=\rho_{S,F}\frac{\sigma_S}{\sigma_F}\approx\beta\\ &\text{最小方差套期保值数量} N=\beta\times\frac{V_S}{V_F} \end{align}
   • \beta为CAPM的系统风险系数，V为现金和股指合约规模(点数乘以每点价值)
   • 最小方差套期保值比率近似为\beta的条件：
     (1)被套期保值的股票组合与市场指数r_{\mathrm{M}}之间的\beta系数等于股票组合与股指期货之间的\beta系数
     (2)所采用的\beta系数等于套期保值期间真实的\beta系数。
6. 调整系统风险系数
   • \beta^{\ast}为目标风险系数
     N=(\beta^{\ast}-\beta)\times\frac{V_S}{V_F}
     交易N份期货使得股票\beta变为\beta^\ast
   • 当\beta不能认为近似等于最小方差套期保值比率时
     N=\frac{\left(\beta^*-\beta\right)}{\beta / b^{\prime}} \frac{V_S}{V_F}
     b^{\prime}为利用历史数据估计的n

外汇远期

1. 外汇远期
   • 以某种外汇为标的物，约定在未来某一时间按约定的远期汇率交换外汇
   • 多头收本币给外币，空头收外币给本币
   • 理论价格为外币的价格
   • 注意外汇买入价、卖出价是相对于银行来说的
2. 外汇远期的定价
   • 看成支付已知收益率（外汇无风险利率）的资产
     \begin{align} & f=Se^{-r_f(T-t)}-Ke^{-r(T-t)}\\ & F=Se^{(r-r_f)(T-t)} \end{align}
     S本币现货汇率（价格）
     F本币期货汇率（价格）
     K本币协议汇率
     r_f外国无风险利率
     r本国无风险利率
   • 套利
     理论价格低于实际价格：借外币，买本币，卖期货
     理论价格高于实际价格：借本币，卖外币，买期货
3. 利率平价关系
   • 若外汇无风险利率大于本国无风险利率，则外汇的远期和期货汇率应小于现货汇率，远期贴水
   • 若外汇无风险利率小于本国无风险利率，则外汇的远期和期货汇率应大于现货汇率，远期升水

远期利率协议

1. 远期利率协议概述
   • 买卖双方同意从未来某一商定的时刻开始的一段时期内按协议利率借贷一笔名义本金的协议
   • 一般按协议利率与实际利率的差值结算，无需交换本金
   • 多方为利息支付者，即名义借款人，规避利率上升风险；空方为利息获取者，即名义贷款人，规避利率下降风险
2. 远期利率
   • 未来时间点t_1到t_2的利率；即期利率即为t_1=0的远期利率
     e^{\mathcal{z}_{t_1}\left(t_1-t_0\right)}\times e^{\mathcal{f}_{t_1,t_2}(t_2-t_1)}=e^{\mathcal{z}_{t_2}\left(t_2-t_0\right)}\Rightarrow \mathcal{f}_{t_1,t_2}=\frac{\mathcal{z}_{t_2}(t_2-t_0)-\mathcal{z}_{t_1}(t_1-t_0)}{t_2-t_1}
   • 若不成立，则存在套利空间
     

     \mathbf{\mathcal{f}_{t_1,t_2}(t_2-t_1)\gt\mathcal{z}_{t_2}(t_2-t_0)-\mathcal{z}_{t_1}(t_1-t_0)}
     \mathbf{t_0}：以利率\mathcal{z}_{t_2}贷款到t_2得到现金A元，以\mathcal{z}_{t_1}投资到t_1；进入期限为t_2-t_1、远期利率为\mathcal{f}_{t_1,t_2}，金额为Ae^{\mathcal{z}_{t_1}(t_1-t_0)}的FRA的多头
     \mathbf{t_1}：将投资获得的本金和利息Ae^{\mathcal{z}_{t_1}(t_1-t_0)}贷出，用于执行FRA
     \mathbf{t_2}：从FRA贷款收取Ae^{\mathcal{z}_{t_1}(t_1-t_0)}e^{\mathcal{f}_{t_1,t_2}(t_2-t_1)}，偿还贷款Ae^{\mathcal{z}_{t_2}(t_2-t_0)}
     \\
     \mathbf{\mathcal{f}_{t_1,t_2}(t_2-t_1)\lt\mathcal{z}_{t_2}(t_2-t_0)-\mathcal{z}_{t_1}(t_1-t_0)}
     \mathbf{t_0}：以利率\mathcal{z}_{t_1}贷款到t_1得到现金A元，以\mathcal{z}_{t_2}贷出至t_2；进入期限为t_2-t_1、远期利率为\mathcal{f}_{t_1,t_2}，金额为Ae^{\mathcal{z}_{t_1}(t_1-t_0)}的FRA的空头
     \mathbf{t_1}：从FRA中获取Ae^{\mathcal{z}_{t_1}(t_1-t_0)}现金，偿还第一笔贷款
     \mathbf{t_2}：收回第二笔贷款得到Ae^{\mathcal{z}_{t_2}(t_2-t_0)}现金，偿还FRA本息Ae^{\mathcal{z}_{t_1}(t_1-t_0)}e^{\mathcal{f}_{t_1,t_2}(t_2-t_1)}

   • 利率期限结构向上倾斜，则f_{t_1,t_2}\gt r_{t_2}
     利率期限结构向下倾斜，则f_{t_1,t_2}\lt r_{t_2}
     
3. 远期利率协议的价值
   • 考虑两个协议利率分别为市场远期利率\mathcal{F}和协议远期利率\mathcal{K}，其它完全相同的FRA，期末利息支付之差的现值为
     Ae^{-r(t_2-t_0)}[e^{\mathcal{F}_{t_1,t_2}(t_2-t_1)}-e^{\mathcal{K}(t_2-t_1)}]
   • 由于协议利率等于市场远期利率的FRA价值为0，因此上式为一般FRA的价值计算公式
4. 远期利率协议的结算金
   • 在t_1时刻，此时r与\mathcal{F}_{t_1,t_2}已确定，可以结算FRA的净值
     \begin{align} S & =Ae^{-r(t_2-t_1)}[e^{r(t_2-t_1)}-e^{\mathcal{K}(t_2-t_1)}]\\ & =A(1-e^{(\mathcal{K}-r)(t_2-t_1)}) \end{align}
   • 若不为连续复息，则为
     S=\frac{A(\mathcal{K}-r)(t_2-t_1)}{1+r(t_2-t_1)}
   • 注意t_2-t_1为一年的百分比形式

利率期货

1. 利率期货概述
   • 以利率敏感证券作为标的物的期货合约
   • 是成交量最大、地位最重要、产品种类最丰富的期货品种
2. 与远期利率协议的差异
   • 远期利率协议直接报出远期利率，而利率期货报出的是反向变动的价格，远期利率协议隐含在报价中
   • 远期利率协议结算t_2时刻贴现值的差值，利率期货结算t_1时刻协议价与结算价的差值
   • 利率期货存在逐日盯市制度和保证金要求
   • 远期利率协议中多头规避利率上升风险，而利率期货中多头规避利率下降风险
   • 远期利率协议采用现金交割，利率期货可能采用多种符合标准的证券进行交割
3. 欧洲美元期货
   • 在CME集团交易，标的物是自期货到期日起三个月的欧洲美元定期存款
   • 本金1000000美元，期货利率每个基点25美元
   • 报价/IMM指数 = 100 - LIBOR远期利率 × 100
     这里的LIBOR远期利率是年化的
   • 报价每上升0.01就意味着期货利率下降0.01%，多头盈利25美元
   • 一份欧洲美元期货的价格为1000 × [100-0.25(100-P)]
   • 多头到期盈亏为(LIBOR远期利率-LIBOR) × 10000 × 25
4. 中金所五年国债期货
   • 标的资产：面值一百万元，票面利率3%的中国国债
   • 报价方式：百元净价，全价 = 净价(报价) + 应计利息
   • 标准券：息票率3%，在交割月首日剩余期限为5年的虚拟证券
   • 交割券：空方可选择在合约到期月份首日剩余期限为4-5.25年的任何记账式附息国债用于交割
   • 转换因子：由于期限与票息率各不相同，通过引入标准券和转换因子的概念比较交割券价值，如某交割券的转换因子为1.05，则它的价值等于1.05张标准券
     转换因子等于1元面值产生的现金流按3%贴现到交割月首日在扣掉应计利息的余额，计算时舍去不足一个月的天数
   • 国债期货交割的现金：10000 × (交割券 × 转换因子 + 交割券应计利息)
   • 最便宜交割券CTD：交割成本最低的债券
     交割成本 = 交割券现券报价- 期货结算报价 × 交割券转换因子

     国债期货价格的确定

     1. 计算CTD现货全价
        CTD现货全价 = CTD现货净价(报价) + 现货应计利息
     2. 计算CTD期货全价
        CTD期货全价 = FV( CTD现货全价 - CTD期货未来利息 )
     3. 计算CTD期货净价(报价)
        CTD期货净价(报价) = CTD期货全价 - CTD期货应计利息
     4. 计算国债期货净价(报价)
        国债期货净价(报价) = CTD期货净价(报价) / 转换因子

利率风险的套期保值

1. 利率敏感性指标
   • 久期，衡量资产价值变动百分比的对于利率变动的一阶敏感性
     D=-\frac{\mathrm d P}{\mathrm d y}\frac{1}{P}
   • 货币久期，到期收益率变动引起的价格变动额
     D\times P=-\frac{\mathrm d P}{\mathrm d y}
   • 麦考利久期，现金流的平价回笼时间
     MacDur=\frac{\sum t\times PVCF_t}{\sum PVCF_t}
   • 修正久期， 资产价值变动百分比除以利率变动值
     ModDur=\frac{MacDur}{1+y}
     y为复息频次，如一个月一次就是\frac{1}{12}
     对于连续附息，麦考利久期和修正久期相等
2. 利率远期和利率期货的利率敏感性
   • CTD期货久期等于CTD现券久期减去期货合约剩余期限
     \begin{align} & F = (S-I)e^{r(T-t)}\\ & \Rightarrow D_F=\frac{1}{F}\frac{\mathrm d F}{\mathrm d r}=D_S-(T-t) \end{align}
   • 国债期货报价的久期等于CTD期货价格久期
     D_G=-\frac{1}{G}\frac{\partial G}{\partial r}=D_F
   • 国债期货报价的美元久期等于CTD现券久期除以转换因子
     D_{G\$}=-\frac{\partial G}{\partial r}=\frac{D_{S\$}}{\text{转换因子}}
3. 基于久期的套期保值
   • 最优套期保值比率：一份H需要n份G的空头实现组合久期为0
     n=\frac{\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{~d} y}}{\frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{~d} y}}=\frac{D_H \times H}{D_G \times G}
   • 最优套期保值数量：价值V_H的H需要N份价值V_G的G空头实现组合久期为0
     N=n \times \frac{Q_H}{Q_G}=\frac{D_H \times H \times Q_H}{D_G \times G \times Q_G}=\frac{D_H \times V_H}{D_G \times V_G}
   • 调整久期：调整H的久期从D_H到D_H^\ast所需购买的G的数量
     N=\frac{D_H^\ast-D_H}{D_G}\times\frac{V_H}{V_G}
4. 远期套期保值与久期套期保值
   • 相同点：利用一个市场的盈利对冲另一个市场的亏损
   • 不同点：远期套期保值无限调整，是静态套保；久期套期保值需要不断调整比例，是动态套保，且只对冲了一阶的变动

第六章 互换概述

互换的定义与种类

1. 利率互换IRS
   • 双方同意在未来一定期限内根据同种货币的相同名义本金交换现金流
   • 多头是固定利率的支付者，空头是浮动利率的支付者
   • 具体细节由双方商定，净额结算，期末不交换本金，没有披露业务
2. 货币互换
   • 在未来约定的期限内，将一种货币的本金和固定利息与另一种货币的等价本金和固定利息进行交换
   • 需要交换不同货币的利息和本金
3. 总收益互换TRS
   • 在未来约定期限内将一种或一揽子资产的总收益(包括现金流与资本利得或损失)与等值浮动利率债券的利息加或减价差进行交换
   • 多头支付浮动利息，空头支付总收益
   • 不转让资产所有权，只是转让收益权
   • 资产为国外股票，债券为本国债券，则实现了绕过管制购买国外股票的方法
4. 信用违约互换CDS
   • CDS买方定期向卖方支付一定费用，一旦出现实先约定的违约事件，CDS买方有权从卖方手中获得补偿，互换终止
   • 补偿可以是实物，通常是以面值交换债券；也可以是现金，通常是贷款或债券面值减去公平回收价值
   • 转嫁风险，相当于保险
5. 交叉货币利率互换
   • 一种货币的固定利率交换另一种货币的浮动利率
6. 基点互换
   • 利率互换双方均是浮动利率，但参照利率不同
7. 股票互换
   • 交易双方支付的现金流取决于具体股票指数的收益率

互换市场

1. 国际互换市场迅速发展的原因
   • 金融自由化。金融自由化导致外汇风险和利率风险增加，互换可以应对这种风险
   • 金融证券化。金融证券化与互换业务相辅相成，促进了互换市场的发展
   • 互换利用的诱导。互换往往可以使双方都获益
   • 金融机构的参与。金融机构直接参与互换市场，称为做市商提供流动性
2. 做市商制度
   • 做市商同时报出其作为互换多头和空头所愿意支付和接受的价格
   • 人民币利率互换市场尚未实施做市商制度，以询价方式进行
3. 利率互换市场制度
   • 浮动利率的选择：LIBOR、SHIBOR
   • 天数计算：通常为A/360（我国SHIBOR为A/360，固定利率为A/365）
   • 支付频率：利率互换通常为半年一次或三个月一次、货币互换通常为一年一次、固定端和浮动端频率可不一致
   • 净额结算：每期支付差额，期末不交换本金，降低了信用风险
   • 交易日：遵循节假日规避原则
   • 结清：出售（权利义务完全转让）、对冲（如果不是镜子互换则无法完全抵消风险）、解除（冲销了信用风险）
     镜子互换：于原互换交易对手签订一份付息方向相反的互换

第七章 互换的定价与风险风险

利率互换的定价

协议签订后利率互换的定价

1. 运用债券组合给利率互换定价
   • 对于多头，拆解成浮动利率债券多头与固定利率债券空头
     \begin{align} & V =B_{flow}-B_{fix}\\ & B_{fix}=\sum_{i=1}^n ke^{-r_it_i}+Ae^{-r_nt_n}\\ & B_{flow}=(A+k^\ast)e^{-r_1t_1} \end{align}
     A为名义本金额
     k为现金流交换日的固定利息额
     n为交换次数
     t_i为距离第i次现金流交换的事件长度
     r_i为到期日为t_i的LIBOR连续复利即期利率
     k^\ast为下一次交换日应交换的浮动利息额
   • 固定端的价值就是现金流贴现和
   • 浮动端的价值在利息支付日总等于面值A
2. 运用远期利率协议给利率互换定价
   • 对于每一次现金流交换，视作一次FRA协议结算
     V=A\sum_{i=1}^n e^{-\mathcal{z}_i(t_i-t_0)}(e^{\mathcal{K}(t_i-t_{i-1})}-e^{\mathcal{f}_{t_{i-1},t_i}(t_i-t_{i-1})})
     \mathcal{z}_i为第i次现金流的LIBOR(连续复利)
     \mathcal{K}固定端利率(连续复利)
     \mathcal{f}_{t_{i-1},t_i}为t_{i-1}到t_i的远期利率，公式为
     \mathcal{f}_{t_{i-1},t_i}=\begin{cases} & \mathcal{z}_1 &i=0\\ & \frac{\mathcal{z}_{t_i}(t_i-t_0)-\mathcal{z}_{t_{i-1}}(t_{i-1}-t_0)}{t_{i}-t_{i-1}} &i\gt 0 \end{cases}

协议签订时利率互换的定价

1. 假设每半年交换现金流一次
   \begin{align} & B_{fix}=A\times\frac{r_s}{2}\sum_{i=1}^n e^{-r_i\times\frac{i}{2}}+Ae^{-r_n\times\frac{n}{2}}=A=B_{flow}\\ & r_s=\frac{2(1-e^{-r_n\times\frac{n}{2}})}{\sum_{i=1}^{n}e^{-r_i\times\frac{i}{2}}} \end{align}
2. 合理的固定利率使得互换价值为0

货币互换的定价

1. 运用债券组合给货币互换的定价
   • 对于收入本币付出外币的一方
     V=B_D-S_0B_F
   • 对于收入外币付出本币的一方
     V=B_F-\frac{B_D}{S_0}
     B_D是本币债券价值
     B_F是外币债券价值
     S_0是即期汇率
2. 运用远期外汇协议给货币互换定价
   • 对于每一次现金流交换，视作一次外汇期货结算利用
     F=Se^{(r-r_f)(T-t)}
   • 计算远期汇率，换算成同种货币折现求和

互换的风险

1. 信用风险
   • 信用风险的产生：属于场外协议，可能违约
   • 信用风险的大小：利率互换由于只交换差额，风险比货币互换小
   • 信用风险的管理：信用增强（净额结算、抵押、盯市）；利用信用衍生品
2. 市场风险
   • 市场风险的类型：利率风险（利率互换）、汇率风险（货币互换）
   • 市场风险的管理：利率风险（久期凸度分析）、汇率风险（远期外汇协议）

互换利率期限结构

1. 利率基准的选择
   • 短期：LIBOR
   • 中期：欧洲美元期货利率
   • 长期：美元互换利率中隐含的即期利率
     互换利率与美元无风险利率差额形成互换价差，体现了市场的信用风险
2. 互换利率的优势
   • 互换交易活跃，有更多期限的利率；美国国债只有几个固定期限的利率
   • 互换利率具有延续性，每日都会更新，美国国债只有发行时更新
   • 互换是零成本的，不受发行量制约，美国国债供应量有限影响利率
   • 互换利率反映了市场的流动性风险和信用风险，更贴合现实

第八章 互换的运用

运用互换套利

1. 信用套利
   • 成立条件：双方对对方的资产或负债均有需求；双方在两种资产或负债上存在比较优势
   • 交换后双方利率之和等于利率组合中最小值
2. 税收及监管套利
   • 不同国家、不同收入、不同支付的税收待遇不同
   • 人为的市场分割和投资限制
   • 出口信贷、融资租赁等能够得到补贴

运用互换风险管理

1. 管理利率风险
   • 转换资产的利率属性(浮动、固定)
   • 转换负债的利率属性(浮动、固定)
   • 进行风险管理，提供久期对冲功能
2. 管理外汇风险
   • 转换资产币种

构造新产品

1. 如反向浮动利率债券

第九章 期权与期权市场

期权定义

1. 期权的定义：赋予其购买者在规定期限内按双方约定的价格购买或出售一定数量某种资产的权利的合
2. 看涨期权与看跌期权
   • 看涨：购买
   • 看跌：出售
   • 多头：有权利
   • 空头：有义务
3. 欧式期权与美式期权
   • 欧式期权：多头只能在行权日行权
   • 美式期权：多头可以在行权日之前任意时刻行权
4. 期权合约的标的资产
   • 股票期权：以股票或ETF作为标的资产
   • 股价指数期权：以股指等指数为标的资产，结算是指数要乘以一定倍数
   • 期货期权：可进一步分为基于利率期货、外汇期货和股指期货等期货的期权
   • 利率期权：以各种利率为标的物
   • 信用期权：以公式信用情形作为标的物
   • 货币期权：又叫外汇期权，以各种货币为标的物
   • 互换期权：以互换协议作为标的物
   • 复合期权：以期权作为标的物

期权市场

1. 新趋势
   • 日益增多的奇异期权
   • 交易产品的灵活化
     灵活期权：交易所内交易单具有非标准执行价格和到期日条款的期权
   • 交易所之间合作日益增强
   • 高频交易日益盛行

期权交易

1. 基本条款
   • 交易单位：标的资产的交易数量
     股指期权：100股股票
     指数期权：指数×100
     期货期权：1张期货合约
     PHLX的外汇期权：英镑期权31250英镑，欧元期权62500欧元
   • 执行价格：交易所事先确定
     根据最近收盘价确定一个中心执行价格，然后确定上下若干级距的执行价格
   • 到期循环、到期月、到期日、最后交易日和执行日
     股票期权通常在1、2、3月的循环期进行交易；每个月包含四个到期月（两个日历月和两个循环月）
     到期日为到期月的第三个星期五之后的星期六
   • 红利和股票分割
     股票派发现金红利不影响期权
     股票分割后调整执行价格或交易单位
2. 期权交易制度
   • 头寸限额：在交易所能持有的期权头寸最大限额
   • 保证金制度：空方期初缴纳初始保证金，之后维持保证金的水平。多方只需要在交易日后第二个营业日缴纳期权费，不需要保证金
   • 买卖指令：买入建仓、卖出建仓、买入平仓、卖出平仓、备兑开仓（证券现货+卖空看涨期权）、备兑平仓（买入相应期权将备兑头寸平仓）
   • 涨跌停与熔断
   • 竞价：集中竞价、连续竞价

期权与其它衍生品

期权与期货的区别与联系

1. 权利和义务
   • 期货双方都被赋予权利和义务，到期时必须执行，期货空方常常拥有选择交割月中哪一天交割的权利
   • 期权只赋予买方权利，卖方可以行使也可以不行使权力
2. 标准化
   • 期货合约都是标准化的场内合约
   • 期权合约既有场内也有场外
3. 盈亏风险
   • 期货空方亏损有限，盈利有效；多方亏损有限，盈利无限
   • 期权各种情况都可能，一侧有限一侧无限或均有限
4. 保证金
   • 期货双方需要缴纳保证金
   • 期权多方不需要缴纳保证金，因为亏损不会超过他的期权费，交易所期权的空方需要缴纳保证金，场往期权取决于当事人意见
5. 套期保值
   • 期货会把不利风险和有利风险都转移除去
   • 期权只转移不利风险

股票期权与权证的区别与联系

1. 权证的定义
   • 上市公司或第三者发行，运行持有人在约定时间以约定价格向发行人购买（认购权证）或卖出（认沽权证）一定数量的标的资产
   • 股本权证：上市公司发行的权证。期限长、通过发行新股或注销股票的方式进行、导致股本扩张或收缩。主要是认购权证，用于员工激励或增加证券吸引力
   • 备兑权证：第三方（通常是投资银行）发行。不涉及股票发行或注销。标的资产除了个股，还可以是股指、一揽子股票等
2. 股本权证与股票期货的区别
   • 股本权证涉及股票发行或注销，股票期货没有
   • 股本权证流通数量相对固定，股票期货数量理论上是无限的
   • 股本权证影响总股本，股票期货不影响

内嵌期权与实物期权

1. 内嵌期权
   • 在金融产品中加入期权形式的条款，满足一定条件后可以选择行权
   • 如可转换债券、可赎回债券、可回售债券等
2. 实物期权
   • 以实物资产为标的物的未来选择权，主要用于实物资产的投资分析
3. 可赎回债券
   • 发行人有权在债券到期前以约定的价格将债券赎回，通常在融资利率低时赎回
4. 可转换债券
   • 持有人有权按照约定的价格将债券转换为公司的普通股

第十章 期权的回报与价格分析

期权的价格特性

1. 期权价值=内在价值+时间价值
2. 内在价值
   • 多方可能行使期权时所获回报最大贴现值的较大值
     

     分类			内在价值
     看涨期权	欧式	无收益	\max [S-Xe^{-r(T-t)},0]
     		有收益	\max [S-I-Xe^{-r(T-t)},0]
     	美式	无收益	\max [S-Xe^{-r(T-t)},0]
     		有收益	\max [S-I-Xe^{-r(T-t)},S-Xe^{-r_\tau(\tau-t)},0]
     看跌期权	欧式	无收益	\max [Xe^{-r(T-t)}-S,0]
     		有收益	\max [Xe^{-r(T-t)}-(S-I),0]
     	美式	无收益	\max [X-S,0]
     		有收益	\max [X-S,Xe^{-r_\tau(\tau-t)}-(S-I),0]

     欧式期权不能提前行权，因此内在价值就是到期价值
     美式看涨期权可以选择行权日行权或者派息日之前行权，内在价值为较大者
     美式看跌期权X的折现值是减函数，因此期初的内在价值最大
     美式看涨期权可以选择行权日行权或者派息日之后行权，内在价值为较大者
     因为期权多头随时可以放弃行权，所以内在价值始终大于0

   • 实值期权、平值期权与虚值期权
     实值期权内在价值大于0
     平值期权内在价值等于0
     虚值期权内在价值小于0
3. 时间价值
   • 期权尚未到期时，标的资产价格波动给持有者带来收益的可能价值
   • 剩余期限越长、资产价格波动率越大、期权平值时，时间价值最大

期权价格的影响因素

1. 欧式期权没有提前行权的的自由性，大量红利支付可能使期权价格下降，因此T的影响不确定
2. 利用公式可以估计隐含波动率

期权价格的上下限

分类			上限	下限
看涨期权	欧式	无收益	S	\max [S-Xe^{-r(T-t)},0]
		有收益	S-I	\max [S-I-Xe^{-r(T-t)},0]
	美式	无收益	S	\max [S-Xe^{-r(T-t)},0]
		有收益		\max [S-I-Xe^{-r(T-t)},S-Xe^{-r_\tau(\tau-t)},0]
看跌期权	欧式	无收益	Xe^{-r(T-t)}	\max [Xe^{-r(T-t)}-S,0]
		有收益		\max [Xe^{-r(T-t)}-(S-I),0]
	美式	无收益	X	\max [X-S,0]
		有收益		\max [X-S,Xe^{-r_\tau(\tau-t)}-(S-I),0]

1. 价格上限
   • 看涨期权
     上限不超过资产价值，若超过资产现值，可以直接买入资产而不需要使用期权
     美式看涨期权可以提前行权，价格上限更高不需要减去I
   • 看跌期权
     看跌期权的收益上限为X，投资者不可能花费超过X的钱买入收益上限为X的产品
     对于欧式期权，X的折现值即为上限
     对于美式期权，由于运行起初直接行权，X就是上限
2. 价格下限
   • 期权价格=内在价值+时间价值，价格下限就是内在价值
     
     

提前执行美式期权的合理性

1. 无股息
   • 看涨期权永不提前行权；看跌期权S很小或r很高时可以提前行权
2. 有股息
   • 看涨期权D_n\gt X[1-e^{-r(T-t_n)}]时可以除权前提前行权；看跌期权D_n\lt X[1-e^{-r(T-t_n)}]时可以除权前提前行权
   • 在除息日当天执行期权，买入的标的没有分红的权利，因此当天执行没有意义。
     在分红日执行期权，买入的标的没有资格享受分红，因此当天执行没有意义。
     在得知分红公告当天提前执行期权，买入的标的虽然享有分红的权利，但也放弃了持有现金的机会成本，并不是最优方案。
     在除息日前一个交易日执行期权，买入标的既享有分红的权利，放弃的机会成本也最低，因此是最优方案。

看跌期权与看涨期权的平价关系

1. 欧式期权
   • 无资产收益
     p+S=c+Xe^{-r(T-t)}
   • 有资产收益
     p+(S-I)=c+Xe^{-r(T-t)}
2. 美式期权
   • 无资产收益
     S-X\le C-P\le S-Xe^{-r(T-t)}
   • 有资产收益
     (S-I)-X\le C-P\le S-Xe^{-r(T-t)}

第十一章 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型

股票价格变化过程

1. 标准布朗运动
   • 随机过程z_t的初始值为0，每个时间段的增量独立，服从均值为0、方差为时间长度的正态分布
     \mathrm{d} z_t=\varepsilon_t \sqrt{\mathrm{d} t}\quad\quad \varepsilon_t\sim\mathrm N(0,1)\ i.i.d
   • \mathrm{d} z_t与z_T-z_t=\int \varepsilon_t \sqrt{\mathrm{d} t}均服从均值为0、方差为时间间隔的正态分布（方差具有可加性）
2. 普通布朗运动
   • 具有漂移率a和方差率b^2的布朗运动
     \mathrm{d} x_t=a \mathrm{~d} t+b \mathrm{~d} z_t
     其中\mathrm{~d} z_t为标准布朗运动
   • \mathrm{d} x_t与x_T-x_t=\int a \mathrm{~d} t+b \mathrm{~d} z_t均服从均值为a乘时间间隔、方差为b^2乘时间间隔的正态分布（均值和方差具有可加性）
3. 伊藤过程
   • 漂移率和方差率不是常数，而是时间的函数的布朗运动
     \mathrm d x_t=a_t\mathrm d t+b_t\mathrm d z_t
   • 伊藤引理：设G是x_t和t的确定的函数，并且\frac{\partial G}{\partial x},\frac{\partial G}{\partial t},\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}都存在，则
     \mathrm d G_t=\left(\frac{\partial G}{\partial x}a_t+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}b_t^2\right)\mathrm d t+\frac{\partial G}{\partial x}b_t\mathrm d \mathcal{z}_t
     可以发现G遵循伊藤过程，漂移率为\frac{\partial G}{\partial x}a_t+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}b_t^2，方差率为\left(\frac{\partial G}{\partial x}\right)^2b_t^2
4. 股票价格变化过程
   • 假设股价服从几何布朗运动
     \frac{\mathrm d S_t}{S_t}=\mu\mathrm d t+\sigma\mathrm d \mathcal{z}_t
     即股票价格变动百分比等于固定量+漂移量，是一个伊藤过程
   • 令G_t=\ln S_t，根据伊藤引理可得
     \mathrm{d} G_t=\mathrm{d} \ln S_t=\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right) \mathrm{d} t+\sigma \mathrm{d} z_t
     因此\ln S_t服从正态分布，即股价服从对数正态分布
     \ln S_T \sim \mathrm N\left[\ln S_t+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right) \cdot(T-t), \sigma \sqrt{T-t}\right]

BSM微分方程

1. 假设
   • 不存在无风险套利机会；
   • 允许卖空标的证券；
   • 没有交易费用和税收；
   • 证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
   • 所有证券都完全可分；
   • 股票价格遵循几何布朗运动，即m和s为常数；
   • 在衍生证券有效期内，无风险连续复利利率r为常数；在衍生证券有效期内标的证券无现金收益。
2. 推导
   \begin{cases} & \frac{\mathrm d S}{S}=\mu\mathrm d t+\sigma\mathrm d \mathcal{z}\\ & \mathrm d f=\mathrm d f(S,t)=\left(\frac{\partial f}{\partial S}\mu S+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2 S^2\right)\mathrm d t+\frac{\partial f}{\partial S}\sigma S\mathrm d \mathcal{z} \end{cases}\\ \begin{align} 令\quad & \Pi=-f+\frac{\partial f}{\partial S}S\\ & \mathrm d\Pi=-\mathrm d f+\frac{\partial f}{\partial S}\mathrm d S=-\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2 S^2\right)\mathrm d t\\ \therefore\quad & \Pi 是无风险资产，收益率应当等于r\\ & \mathrm d\Pi=\Pi r\mathrm d t\\ \therefore\quad & \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial S}rS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2 S^2=rf \end{align}
   • 适用于所有以S为标的物的产品
3. 期权定价公式
   \begin{align} & c_t=e^{-r(T-t)}\left[F_te^{q(T-t)}N(d_1)-XN(d_2)\right]\\ & p_t=e^{-r(T-t)}\left[XN(-d_2)-F_te^{q(T-t)}N(-d_1)\right]\\ \end{align}
   其中
   \begin{align} & F_t=S_t-I=S_te^{-q(T-t)}\\ & d_1=\frac{ln(\frac{F_t}{X})+(q+\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{(T-t)}}\\ & d_2=d_1-\sigma\sqrt{(T-t)} \end{align}

波动率微笑

1. 衡量期权隐含波动率与行权价格的关系
   • 实值、虚值期权的波动率高于平值期权
2. 波动率期限结构
   • 同样行权价格、不同剩余期限的隐含波动率
3. 波动率曲面
   • 波动率期限结构+波动率微笑形成的

第十二章 期权定价的数值方法

二叉树模型

1. 基本思想
   • 将期权的有效期分为很多很小的时间间隔\Delta t，每个时间间隔内的运动只有上升u倍和下降d倍的可能
   • 用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动
2. 风险中性世界中
   • 可交易证券的期望收益率都是无风险利率
   • 未来现金流按无风险利率贴现
   • 风险中性概率
     \begin{align} &S=\mathrm{e}^{-r T}[S u \hat{\mathbb{P}}+S d(1-\hat{\mathbb{P}})] \\ &\hat{\mathbb{P}}=\frac{\mathrm{e}^{r T}-d}{u-d} \end{align}
   • 衍生品的价格
     f=\mathrm{e}^{-r T}\left[\hat{\mathbb{P}} f_u+(1-\hat{\mathbb{P}}) f_d\right]
3. 期权定价时，参数的确定（\hat{\mathbb{P}},u,d）
   • 风险中性下标的资产价格
     S=\mathrm{e}^{-r T}[S u \hat{\mathbb{P}}+S d(1-\hat{\mathbb{P}})]
   • 假设标的资产的价格服从几何布朗运动，根据方差与期望的性质
     S^2\sigma^2\Delta t=\hat{\mathbb{P}} S^2u^2+(1-\hat{\mathbb{P}}) S^2d^2-S^2[\hat{\mathbb{P}} u+(1-\hat{\mathbb{P}}) d]^2
   • 还差一个等式，假设
     u=\frac{1}{d}
   • 联立三式，解得
     \begin{aligned} \hat{\mathbb{P}} & =\frac{\mathrm{e}^{r \Delta t}-d}{u-d} \\ u & =\mathrm{e}^{\sigma \sqrt{\Delta t}} \\ d & =\mathrm{e}^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}\end{aligned}
4. 倒推定价
   • 计算每个路径的概率，计算最后一期的标的资产价格和期权收益，折现到前一期，以此类推得到期初的期权价格
   • 对于美式期权，比较折现收益和立刻行权收益，取较大者
5. 优缺点
   • 优点：直观简单，适用于欧式和美式期权
   • 缺点：对与美式期权没有确定的定价公式，求解过程复杂

蒙特卡洛模拟

1. 基本思路
   • 尽可能模拟标的资产价格变动的多种路径，计算每种路径的概率和衍生品的回报均值，贴现得到期权价值
2. 优缺点
   • 优点：省却了繁复的数学推导，容易理解；适用情形广泛
   • 缺点：只能给欧式期权定价；需要进行大量计算

有限差分方法

1. 基本思路
   • 衍生品价格f满足
     \frac{\partial f}{\partial t}+(r-q) S \frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2S^2\frac{\partial^2f}{\partial S^2}=r f
   • 将该方程转化为近似的差分方程，利用离散算子计算偏导项，用迭代法求解衍生品价格
2. 隐性差分和显性差分
   • 显性方法计算方便，不需要大量联立方程，易于运用，但是概率可能小于零，导致解不收敛与偏微分方程的解
   • 隐性方法始终是有效的
3. 与二叉树方法的比较
   • 相同点：都用离散的模型模拟资产价格的连续运动
   • 不同点：二叉树方法包含了资产价格扩散和波动率情形
4. 应用
   • 可以推广到多个标的变量的情形
   • 标的变量小于三个时十分有效率，超过三个后不如蒙特卡洛模拟
   • 不善于处理路径依赖型期权

第十三章 期权的交易策略及其应用

期权交易作用

1. 进行静态套期保值，应对标的资产价格上升或下降的风险
2. 进行杠杆投资
3. 进行投机，包括赌方向性的涨跌和波动率的升降等
4. 其它（避税、提供金融解决方案、设计理财产品等）

期权交易策略

1. 担保期权
   • 有担保的看涨期权（备兑看涨期权） = 看涨期权空头 + 标的资产多头
     
   • 有担保的看跌期权（备兑看跌期权） = 看跌期权多头 + 标的资产多头
     
2. 牛市价差
   • 牛市价差组合 = 看涨期权多头 + 更高行权价的看涨期权空头
     
   • 牛市价差组合 = 看跌期权多头 + 更高行权价的看跌期权空头
     
   • 牛市价差组合的作用
     预期价格上升但上升幅度不大，以低于看涨期权的成本投资，当然收益也更低
     卖出看跌期权投机于上升预期，之后通过买人一份行权价格较低的看跌期权进行风险管理
     期权相对价格不合理时套利
   • 两种牛市价差组合的区别
     看涨：期初现金流为负，最终收益更大
     看跌：期初现金流为正，最终收益更小
3. 熊市价差
   • 熊市价差组合 = 看涨期权多头 + 更低行权价的看涨期权空头
     
   • 熊市价差组合 = 看跌期权多头 + 更低行权价的看跌期权空头
     
   • 熊市价差组合的作用
     预期价格下跌但下跌幅度不大，以低于看跌期权的成本投资，当然收益也更低
     卖出看涨期权投机于下跌预期，同时通过买入一份行权价格较高的看涨期权进行风险管理
     期权相对价格不合理时套利
   • 两种熊市价差组合的区别
     看涨：期初现金流为正，最终收益更小
     看跌：期初现金流为负，最终收益更大
4. 蝶式价差
   • （正向）蝶式价差组合 = 看涨期权多头 + 2看涨期权空头 + 看涨期权多头
     
   • （正向）蝶式价差组合 = 看跌期权多头 + 2看跌期权空头 + 看跌期权多头
     
   • 蝶式价差组合的作用
     预测价格会在一定区间内波动
   • 两种蝶式价差组合的区别
     无论初始投资还是最终收益都相同
5. 差期
   • （正向）差期组合 = 看涨期权多头 + 更短期限的看涨期权空头
   • （正向）差期组合 = 看跌期权多头 + 更短期限的看跌期权空头
     
6. 对角
   • 行权价格和期限都不同的同种期权组成
7. 跨式
   • （底部）跨式组合 = 看涨期权多头 + 看跌期权多头
     
   • 预测股价会有重大波动但不知道具体方向，如企业收购
8. 条式
   • （底部）条式组合 = 看涨期权多头 + 2看跌期权多头
     
   • 预测股价会有重大波动且下跌可能性更大
9. 带式
   • （底部）带式组合 = 2看涨期权多头 + 看跌期权多头
     
   • 预测股价会有重大波动且上涨可能性更大
10. 勒式
    • （底部）勒式组合 = 看涨期权多头 + 看跌期权多头
      

第十四章 期权价格的敏感性和期权的套期保值

Delta

1. 定义
   \Delta=\frac{\partial f}{\partial S}
   • 描述价格对标的资产价格变动的敏感程度
2. 计算
   
3. 性质
   • 无收益资产欧式看涨期权的Delta在0到1之间；无收益资产欧式看跌期权的Delta在-1到0之间
   • 无收益资产欧式看涨平值期权的Delta约等于0.5；无收益资产欧式看跌平值期权的Delta约等于-0.5
     
   • 随着时间流逝，虚值期权的Delta趋向于0，平值期权的Delta趋向于±0.5，实值期权的Delta趋向于±1
     
     
   • 无风险利率越高，期权的Delta越高
     
   • 波动率较大后，波动率越大期权的Delta越高
     
4. 套期保值
   • Delta中性：Delta等于0的证券组合处于Delta中性状态，意味着组合价值不随着标的资产价格的变动而变化，是瞬时套保
   • Delta中性保值法：不断调整资产、期权、期货等的比例，使得组合的Delta始终为0，这种调整被称为再均衡，是动态套保

Gamma

1. 定义
   \Gamma=\frac{\partial^2f}{\partial S^2}=\frac{\partial \Delta}{\partial S}
   • 衡量Delta对标的资产价格变动的敏感程度，反映了期权价格与标的资产关系曲线的凸度
2. 性质
   • 看跌期权与看涨期权具有相同的Gamma
   • 无收益资产期权多头的Gamma为正，无收益资产期权空头的Gamma为负
   • 无收益资产看涨期权Gamma与标的资产价格的关系（剩余期限越短，绝对值越大）
     
   • 平值期权在临近到期是，Gamma非常大
     
3. 套期保值
   • 利用期权头寸实现Gamma中性，再利用标的资产、远期、期货实现Delta中性

Theta

1. 定义
   \Theta=\frac{\partial f}{\partial t}
   • 描述价格对时间变动的敏感程度
2. 性质
   • 看跌期权的Theta等于看涨期权的Theta加上一个值
   • 越接近到期日，期权的价格逐渐衰减（且递减速度越来越快），因此Theta往往是负的
   • 无收益资产欧式看涨期权（实值）的Theta与标的资产价格的关系（剩余期限越短，绝对值越大）
     
   • 无收益资产欧式看涨期权的Theta与剩余期限的关系
     
3. 套期保值
   • 由于时间的推移是确定的，没有风险，无需对Theta套期保值
4. Delta、Gamma和Theta之间的关系
   \frac{\partial f}{\partial t}+r S \frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2S^2\frac{\partial^2f}{\partial S^2}=r f\Rightarrow \Theta+r S \Delta+\frac{1}{2} \sigma^2S^2\Gamma=r f
   • 对于Delta中性组合，\Theta+\frac{1}{2} \sigma^2S^2\Gamma=r f，Theta为很大负值时，Gamma为很大正值
   • 对于Delta、Gamma中性组合，\Theta=r f，即组合价值以无风险利率的速度增加

Vega

1. 定义
   V=\frac{\partial f}{\partial \sigma}
   • 衡量价格对标的资产价格波动率的敏感程度
2. 性质
   • 标的资产、远期、期货的Vega为0
   • BS公式假设波动率是常数，因此不能用来计算Vega
   • 期权的Vega总是正数，实值期权Vega最大，剩余期限越大Vega越小
3. 套期保值
   • 若要同时实现Gamma、Vega中性，至少需要使用两种不同期权

Rho

1. 定义
   \rho=\frac{\partial f}{\partial r}
   • 衡量价格对利率的敏感程度
2. 性质
   • 标的资产的Rho为0
   • BS公式假设利率是常数，因此不能用来计算Rho
   • 期货的Rho为tF，t为剩余期限，F为期货价格

总结

第十五章 股票指数期权、外汇期权、期货期权与利率期权

股票指数期权

1. 定义
   • 标的资产为特定股票指数，相当于支付固定红利的期权
2. 定价
   \begin{align} &c_t=S_t \mathrm{e}^{-q(T-t)} N\left(d_1\right)-X \mathrm{e}^{-r(T-t)} N\left(d_2\right) \\ &d_1=\frac{\ln \left(S_t / X\right)+\left(r-q+\sigma^2/2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \quad\quad d_2=d_1-\sigma \sqrt{T-t} \end{align}

外汇期权

1. 定义
   • 标的资产为外汇，相当于支付固定红利的期权，漏损率等于无风险利率
2. 定价
   \begin{align} &c_t=S_t \mathrm{e}^{-r_f(T-t)} N\left(d_1\right)-X \mathrm{e}^{-r(T-t)} N\left(d_2\right) \\ &d_1=\frac{\ln \left(S_t / X\right)+\left(r-r_f+\sigma^2/2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \quad\quad d_2=d_1-\sigma \sqrt{T-t} \end{align}

期货期权

1. 定义
   • 标的资产为期货，相当于支付固定红利的期权，漏损率等于利率
2. 定价
   \begin{align} & c_t=\mathrm{e}^{-r(T-t)}\left[F_tN\left(d_1\right)-X N\left(d_2\right)\right] \\ & d_1=\frac{\ln \left(F_t / X\right)+\left(\sigma^2/2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \quad\quad d_2=d_1-\sigma \sqrt{T-t} \end{align}

利率期权

1. 定义
   • 其回报以某种方式取决于某个利率水平的期权
2. 定价困难的原因
   • 要利率期权的标的资产利率的随机过程比股票价格或汇率的变化要复杂得多，几何布朗运动难以较好地捕捉利率的随机运动规律
   • 特定时刻的利率不是一个数值，而是整条利率期限结构曲线，所以用以描述利率随机运动规律的模型必须能捕捉整条利率期限结构曲线的特征
   • 整条利率期限结构曲线上不同到期时刻的利率的波动率都是互不相同的
   • 利率本身影响期权的到期回报，同时要充当回报的贴现率
3. 利率期权的种类
   • 利率上限期权：利率指标超过执行利率则有权获取差异的补偿
   • 利率下限期权：利率指标低于执行利率则有权获取差异的补偿
   • 利率双限期权：同时买入利率上限、卖出利率下限
   • 利率互换期权：交易的是利率互换的权利

第十六章 奇异期权

1. 两值期权：到期收益不连续
   • 或有现金看涨期权：价值为0或约定值
   • 或有资产看涨期权：价值为0或约定资产的价值
2. 延迟支付期权（波士顿期权）：目前不支付期权价格，到期支付期权终值
3. 或有期权费期权（零期权费期权）：期初不支付期权费，到期属于实值才支付期权费
4. 障碍期权：期权的回报与是否达到一个障碍水平有关
   • 敲出障碍期权：标的资产价格达到特定价格水平后期权作废
   • 敲入障碍期权：标的资产价格达到特定价格水平后期权有效
   • 向上障碍期权：障碍水平高于初始价格
   • 向下障碍期权：障碍水平低于初始价格
   • 双重障碍期权：包含上限和下限两个障碍水平
   • 上卷障碍期权：开始时是常规期权，资产价格达到约定水平后变为障碍期权
   • 外部障碍期权（彩虹障碍期权）：回报特征取决于第二种标的资产
5. 亚式期权：回报根据时间段内平均价格确定
6. 回溯期权：回报根据时间段内价格最值确定
7. 呐喊期权：有效期内可以呐喊一次，到期后选择常规期权回报与呐喊时内在价值中最大值为收益
8. 远期开始期权：现在支付期权费而未来时刻开始的期权
9. 复合期权：期权的期权
10. 选择期权：行权时可以选择该期权为看涨还是看跌
11. 彩虹期权：标的资产有两种以上
12. 打包期权：由常规欧式期权、远期、现金、标的资产等构成的证券组合

第十七章 风险管理

风险识别

1. 包括市场风险、信用风险、流动性风险、操作风险

风险度量

1. 市场风险的度量
   • 敏感性分析
   • 在险值VaR：一定概率水平下，在一定时期内可能遭受的最大损失
     优点：用一个简单的数字就能概括风险情况，同时适用于单个资产和资产组合
     缺点：要求有大量交易数据，忽视流动性风险等其他风险，无法捕捉风险的相关关系，不清楚损失的分布
   • 情景分析与压力测试：在极端情况下对金融机构承受能力的测试
2. 信用风险的度量
   • 市场流动性风险的度量：价格度量法、交易度量法、价量结合度量法、时间度量法
   • 融资流动性风险的度量：流动比率、流动性缺口分析、现金流预测

风险管理与控制

1. 风险分散：多样化投资
2. 风险对冲：利用其它金融工具对冲风险
3. 风险转移：购买保险、担保和信用证等
4. 风险规避
5. 风险补偿与准备